[论文解读] Wasserstein-2 bounds in normal approximation under local dependence

Xiao Fang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过使用 Stein 方法和二阶可微函数的渐近展开，建立了在局部依赖下对和的正态近似中的一般 Wasserstein-2 距离界。关键结果以三阶和四阶矩以及邻域依赖结构的形式提供了显式界，适用于 m-依赖序列、U-统计量和 Erdős-Rényi 随机图中的子图计数，并提出了关于任意 p 的 p-Wasserstein 界的猜想。

ABSTRACT

We obtain a general bound for the Wasserstein-2 distance in normal approximation for sums of locally dependent random variables. The proof is based on an asymptotic expansion for expectations of second-order differentiable functions of the sum. We apply the main result to obtain Wasserstein-2 bounds in normal approximation for sums of $m$-dependent random variables, U-statistics and subgraph counts in the Erdős-Rényi random graph. We state a conjecture on Wasserstein-$p$ bounds for any positive integer $p$ and provide supporting arguments for the conjecture.

研究动机与目标

• 推导局部依赖随机变量和的正态近似中的一般 Wasserstein-2 距离界。
• 将现有关于 Wasserstein-1 和 Kolmogorov 距离界的成果扩展到局部依赖下的 Wasserstein-2 度量。
• 提供涉及三阶和四阶矩以及邻域依赖结构的显式界。
• 将主要结果应用于 m-依赖序列、U-统计量和 Erdős-Rényi 随机图中的子图计数。
• 提出并支持关于任意正整数 p 的 p-Wasserstein 界的猜想。

提出的方法

• 使用 Stein 方法推导和 W 的二阶可微函数期望的渐近展开。
• 应用 Zolotarev 的二阶理想距离来控制 W 与独立同分布随机变量和之间的 Wasserstein-2 距离。
• 利用三角不等式和已知的独立同分布和的 Wasserstein-2 界，来界定 W 与标准正态分布之间的距离。
• 通过三个条件 (LD1)–(LD3) 定义局部依赖，涉及每个 X_i 的收缩邻域 A_i, A_ij, A_ijk。
• 使用四阶以内的累积量展开来控制渐近展开中的误差项。
• 通过类似渐近展开和 Young 不等式对高阶累积量的支持，来支持关于 p-Wasserstein 界的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部依赖随机变量和的正态近似中，最优 Wasserstein-2 距离界是什么？
• RQ2 如何将 Stein 方法和渐近展开适应于在局部依赖下界定 Wasserstein-2 距离？
• RQ3 是否可以将 p=2 时使用的方法推广，以推导任意正整数 p 的 p-Wasserstein 距离界？
• RQ4 m-依赖序列、U-统计量和 Erdős-Rényi 随机图中子图计数的 Wasserstein-2 距离的显式基于矩的界是什么？
• RQ5 依赖结构和矩的什么条件能确保正态近似中紧密的 Wasserstein-2 界？

主要发现

• 本文建立了形如 $\mathcal{W}_2(\mathcal{L}(W), N(0,1)) \leq C[|\beta| + (\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3)^{1/2}]$ 的 Wasserstein-2 界，其中 $\beta$ 表征三阶依赖，$\gamma_i$ 衡量高阶矩的贡献。
• 该界适用于 m-依赖序列、U-统计量和 Erdős-Rényi 随机图中的子图计数，提供了基于依赖邻域和矩的显式速率。
• 证明技术结合了 Stein 方法、二阶可微函数的渐近展开以及 Zolotarev 的二阶理想距离。
• 作者基于高阶累积量展开和 Young 不等式，提供了支持猜想的论据，即对所有正整数 p 均存在类似界。
• 该方法对弱依赖具有鲁棒性，这通过在局部依赖结构中使用收缩邻域 A_i, A_ij, A_ijk 得到体现。
• 该结果推广了 Barbour、Karoński 和 Ruciński (1989) 的先前 Wasserstein-1 界，并将正态近似的适用范围扩展到具有局部依赖的非独立同分布情形。