[论文解读] Wasserstein Barycenters over Riemannian manifolds

Young‐Heon Kim, Brendan Pass|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文在一般条件下建立了黎曼流形上Wasserstein中位数的存在性、唯一性及绝对连续性，将欧几里得空间及两测度情形的结果推广至多边际与非有限支撑分布的情形。关键贡献是通过 $k$-位移凸性与Wasserstein空间上 $W_2$ 度量下的Jensen不等式，推导出具有非负 Ricci 曲率的流形上随机可测集的广义Brunn-Minkowski不等式。

ABSTRACT

We study barycenters in the space of probability measures on a Riemannian manifold, equipped with the Wasserstein metric. Under reasonable assumptions, we establish absolute continuity of the barycenter of general measures $Ω\in P(P(M))$ on Wasserstein space, extending on one hand, results in the Euclidean case (for barycenters between finitely many measures) of Agueh and Carlier \cite{ac} to the Riemannian setting, and on the other hand, results in the Riemannian case of Cordero-Erausquin, McCann, Schmuckenschläger \cite{c-ems} for barycenters between two measures to the multi-marginal setting. Our work also extends these results to the case where $Ω$ is not finitely supported. As applications, we prove versions of Jensen's inequality on Wasserstein space and a generalized Brunn-Minkowski inequality for a random measurable set on a Riemannian manifold.

研究动机与目标

• 将Wasserstein中位数理论从欧几里得空间及两测度情形推广至黎曼流形上的一般分布。
• 在较弱的几何假设下，建立中位数关于体积测度的绝对连续性。
• 在具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形上，推导出新的几何与函数不等式——特别是随机形式的曲率Brunn-Minkowski不等式。
• 通过 $k$-位移凸泛函，将Jensen不等式推广至黎曼流形上的Wasserstein空间。

提出的方法

• 将中位数形式化为在紧黎曼流形 $M$ 上的Borel概率测度空间 $P(M)$ 上的概率测度 $\Omega$ 上，$W_2^2$-距离泛函的极小化问题。
• 应用黎曼流形上的最优传输理论，包括最优映射的存在性与唯一性及其雅可比行列式。
• 利用中位数处的一阶与二阶平衡条件，分析Wasserstein空间中可微性与曲率效应。
• 建立熵泛函与幂型泛函等泛函的 $k$-位移凸性，以推导广义的Jensen不等式。
• 通过结合Wasserstein Jensen不等式与对数泛函与幂泛函的 $k$-位移凸性，推导出随机Brunn-Minkowski不等式。
• 证明对于一般测度 $\Omega$，其中位数关于体积测度是绝对连续的，从而将有限支撑情形的结果推广至一般 $\Omega$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$P(M)$ 上一般概率测度 $\Omega$ 的Wasserstein中位数关于黎曼体积测度是绝对连续的？
• RQ2 如何将Jensen不等式推广至黎曼流形上Wasserstein空间中的泛函？
• RQ3 在具有非负 Ricci 曲率的黎曼流形上，随机可测集的Brunn-Minkowski不等式具有何种形式？
• RQ4 $P(M)$ 上泛函的 $k$-位移凸性如何导致曲率空间中新的几何不等式？
• RQ5 对于 $P(M)$ 上非有限支撑测度 $\Omega$ 的中位数，是否仍可证明其绝对连续性？

主要发现

• 在较弱假设下，$P(M)$ 上任意概率测度 $\Omega$ 的Wasserstein中位数关于黎曼体积测度是绝对连续的，从而将有限支撑与两测度情形的结果推广。
• 建立了 $k$-位移凸泛函的广义Wasserstein Jensen不等式，当 $K \geq 0$ 时，熵泛函 $\rho \mapsto \int \rho \log \rho \, d{\rm vol}$ 是 $k$-位移凸的。
• 当随机可测集 $X$ 几乎必然满足 $\nu(X) > 0$ 时，若 $N = \infty$，则有不等式 $\log \nu(Z(X)) \geq \mathbb{E}[\log \nu(X)] + \frac{k}{2}\alpha(X)$ 成立，其中 $Z(X)$ 为 $X$ 中点的中位数集合。
• 当 $N < \infty$ 且 $K \geq 0$ 时，有不等式 $\nu(Z(X))^{1/N} \geq \mathbb{E}[\nu(X)^{1/N}]$ 成立，这将经典Brunn-Minkowski不等式推广至曲率空间。
• 若随机集 $X$ 几乎必然包含于某固定有界集 $B$ 中，则结果可推广至完备非紧流形。
• 在 $\omega \mapsto \mu_X$ 下 $\Omega$ 的推出测度的中位数 $\bar{\mu}$ 满足 $\text{supp}(\bar{\mu}) \subseteq Z(X)$，从而保证中位数的支撑包含于随机集的中位数集合中。