[论文解读] Wasserstein Solution Quality and the Quantum Approximate Optimization Algorithm: A Portfolio Optimization Case Study

Jack S. Baker, Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 18

一句话总结

本文使用归一化互补Wasserstein距离（η）作为特定应用的基准，评估了量子近似优化算法（QAOA）在投资组合优化中的表现。结果表明，在真实量子处理单元（QPUs）上，当n=2时，p=5时解的质量达到峰值；当n=3时，p=4时达到峰值。无导数优化器的表现优于需要导数的优化器，且识别出解的质量波动超过测量噪声，这成为关键的性能指标。

ABSTRACT

Optimizing of a portfolio of financial assets is a critical industrial problem which can be approximately solved using algorithms suitable for quantum processing units (QPUs). We benchmark the success of this approach using the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA); an algorithm targeting gate-model QPUs. Our focus is on the quality of solutions achieved as determined by the Normalized and Complementary Wasserstein Distance, $η$, which we present in a manner to expose the QAOA as a transporter of probability. Using $η$ as an application specific benchmark of performance, we measure it on selection of QPUs as a function of QAOA circuit depth $p$. At $n = 2$ (2 qubits) we find peak solution quality at $p=5$ for most systems and for $n = 3$ this peak is at $p=4$ on a trapped ion QPU. Increasing solution quality with $p$ is also observed using variants of the more general Quantum Alternating Operator Ansätz at $p=2$ for $n = 2$ and $3$ which has not been previously reported. In identical measurements, $η$ is observed to be variable at a level exceeding the noise produced from the finite number of shots. This suggests that variability itself should be regarded as a QPU performance benchmark for given applications. While studying the ideal execution of QAOA, we find that $p=1$ solution quality degrades when the portfolio budget $B$ approaches $n/2$ and increases when $B \approx 1$ or $n-1$. This trend directly corresponds to the binomial coefficient $nCB$ and is connected with the recently reported phenomenon of reachability deficits. Derivative-requiring and derivative-free classical optimizers are benchmarked on the basis of the achieved $η$ beyond $p=1$ to find that derivative-free optimizers are generally more effective for the given computational resources, problem sizes and circuit depths.

研究动机与目标

• 评估真实量子处理单元（QPUs）上QAOA在均值-方差投资组合优化（MVPO）中的性能，这是金融优化中的关键问题。
• 提出归一化互补Wasserstein距离（η）作为评估基于QAOA的组合优化中解质量的应用特定新指标。
• 研究电路深度（p）、问题规模（n）和优化器类型对模拟器和真实QPUs上解质量的影响。
• 识别并分析超出统计测量噪声的QAOA性能波动来源，提出将波动性本身作为QPU基准。
• 首次在真实QPUs上部署硬约束QAOA，并在不同硬件平台上比较其性能。

提出的方法

• 将MVPO表述为无约束二次二值优化（QUBO）问题，并将其映射为QAOA的代价哈密顿量。
• 采用归一化互补Wasserstein距离（η）量化测量解分布与真实最优解分布之间的距离。
• 在密集态矢量模拟器和真实门模型QPUs（包括IBM和离子阱系统）上执行QAOA，电路深度p从1到5不等。
• 对经典黑箱优化器（包括无导数型，如Nelder-Mead、COBYLA；以及需要导数型，如BFGS）进行基准测试，以最小化代价哈密顿量的期望值。
• 比较硬约束与软约束QAOA变体，结果表明前者在优化景观条件上表现更优。
• 使用有限次测量次数模拟NISQ实际条件，并分析随机噪声对优化器性能的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在真实QPUs上，QAOA在投资组合优化中的解质量如何随电路深度（p）变化？在哪个p值时达到峰值性能？
• RQ2 在重复优化中，解质量的波动在多大程度上超过有限测量次数带来的噪声？这对QPU基准测试有何启示？
• RQ3 在真实计算约束下，无导数和需要导数的经典优化器在最小化QAOA代价函数时的表现如何比较？
• RQ4 为何当投资组合预算B接近n/2时，QAOA解质量会下降？这与二项式系数nCB有何关联？
• RQ5 Wasserstein距离度量（η）能否作为跨不同QPUs和问题实例评估QAOA性能的可靠、应用特定基准？

主要发现

• 对于n=2，大多数QPUs上p=5时η指标达到解质量峰值；对于n=3，离子阱QPUs上p=4时达到峰值。
• 对于标准QAOA和更通用的量子交替算符试探法，解质量随电路深度p增加而提升，且在n=2和n=3时p=2处首次报告了未预见的性能提升。
• 在重复优化中，解质量的波动超过有限测量次数带来的随机噪声，表明波动性本身应被视为关键的QPU性能基准。
• 当投资组合预算B接近n/2时，解质量最低，这与二项式系数nCB的最小值相关，提示可能与可达性缺陷有关。
• 在相同计算预算和问题规模下，无导数优化器在η值表现上始终优于需要导数的优化器。
• 在IBM QPUs中，量子体积（QV）较低的设备在相同拓扑下优于QV更高的设备，表明通用基准如QV无法预测应用特定性能。