[论文解读] Wasserstein stability estimates for covariance-preconditioned Fokker-Planck equations

José A. Carrillo, Urbain Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文利用最优传输理论，为衍生品自由反问题中出现的协方差预处理Fokker-Planck方程建立了Wasserstein稳定性估计。当存在噪声时（$ \sigma > 0$），证明了指数收敛到平衡态；当无噪声时（$ \sigma = 0$），证明了代数收敛到真实解处的Dirac delta函数，从而解决了线性前向模型情形下的一个开放问题。

ABSTRACT

We study the convergence to equilibrium of the mean field PDE associated with the derivative-free methodologies for solving inverse problems. We show stability estimates in the euclidean Wasserstein distance for the mean field PDE by using optimal transport arguments. As a consequence, this recovers the known convergence towards equilibrium estimates in the case of a linear forward model.

研究动机与目标

• 为衍生品自由反问题求解器中使用的平均场PDE，在2-Wasserstein距离中建立定量稳定性估计。
• 解决在无噪声情形（$\\sigma = 0$）下线性前向模型情况下平衡收敛的开放问题。
• 将平衡估计从粒子系统推广到平均场PDE框架。
• 利用最优传输方法，恢复并扩展[15]中的收敛结果。
• 通过Fokker-Planck方程，为基于Ensemble Kalman的反问题求解器提供严格的平均场描述。

提出的方法

• 该分析采用最优传输理论，推导出具有协方差预处理漂移的非局部Fokker-Planck方程在2-Wasserstein距离$W_2$中的稳定性估计。
• 关键方程为$\partial_t f = \nabla \cdot \left( \mathcal{C}(f_t) \left( \nabla \Phi_R(\mathbf{u};\mathbf{y}) f + \sigma \nabla f \right) \right)$，其中$\mathcal{C}(f_t)$是密度$f_t$的协方差算子。
• 作者使用相对熵方法和李雅普诺夫函数，控制两个解之间Wasserstein距离的演化。
• 他们推导出Wasserstein距离$W_2(f_t^1, f_t^2)$的微分不等式，从而得到估计$W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$。
• 通过协方差算子的谱性质和矩阵范数不等式，证明了衰减率$\gamma(t)$在$\sigma > 0$时为指数型，在$\sigma = 0$时为代数型。
• 利用关于矩阵平方根和Frobenius范数等价性的技术引理，控制协方差矩阵的时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于协方差预处理反问题的平均场Fokker-Planck方程，在初始数据扰动下，其在2-Wasserstein距离中是否表现出稳定性？
• RQ2 当正向模型为线性且噪声参数$\sigma > 0$时，Fokker-Planck方程的平衡收敛速率是多少？
• RQ3 能否利用最优传输方法，将$\sigma > 0$情形下的平衡估计恢复并推广至$\sigma = 0$的情形？
• RQ4 当$\sigma = 0$时，Fokker-Planck方程的解是否收敛到真实解$\mathbf{u}_0$处的Dirac delta函数？若是，收敛速率如何？
• RQ5 稳定性常数$C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$对初始矩和模型参数的依赖关系如何影响收敛行为？

主要发现

• 本文建立了形如$W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$的稳定性估计，其中当$\sigma > 0$时，$\gamma(t)$呈指数衰减。
• 当$\sigma > 0$时，平衡解为高斯分布，该估计通过最优传输方法恢复了[15]中的平衡收敛结果。
• 当$\sigma = 0$时，解代数收敛到真实解$\mathbf{u}_0 = B G^T \Gamma^{-1} \mathbf{y}$处的Dirac delta函数，推广了[21]中粒子系统的结论。
• 稳定性常数$C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$仅依赖于初始密度$f_0^1$和$f_0^2$的前两阶矩以及模型参数$G$、$\Gamma$、$\Gamma_0$。
• 该分析证明了Wasserstein距离到平衡态满足$W_2(f_t, f_\infty) \geq |\boldsymbol{\delta}(t)|$，其中$\boldsymbol{\delta}(t)$为均值之差，表明该界是紧的。
• 作者推导并使用了矩阵不等式，包括$|\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F \leq C(d) \cdot \max(|\mathit{M}_1^{1/2}|_F, |\mathit{M}_2^{1/2}|_F) \cdot |\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F$，以控制协方差矩阵的时间演化。