[论文解读] Wasserstein Stability for Persistence Diagrams

Primož Škraba, Katharine Turner|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 38被引用 21

一句话总结

本文通过一种新颖的细胞方法和代数框架，建立了持久图的 p- Wasserstein 稳定性，其界比经典的瓶颈稳定性更紧致。该文证明了灰度图像、持久同调变换和 Vietoris-Rips 复形的稳定性，主要贡献包括瓶颈稳定性的简化证明，以及在模的短正合序列中对总持久性的新下界/上界。

ABSTRACT

The stability of persistence diagrams is among the most important results in applied and computational topology. Most results in the literature phrase stability in terms of the bottleneck distance between diagrams and the $\infty$-norm of perturbations. This has two main implications: it makes the space of persistence diagrams rather pathological and it is often provides very pessimistic bounds with respect to outliers. In this paper, we provide new stability results with respect to the $p$-Wasserstein distance between persistence diagrams. This includes an elementary proof for the setting of functions on sufficiently finite spaces in terms of the $p$-norm of the perturbations, along with an algebraic framework for $p$-Wasserstein distance which extends the results to wider class of modules. We also provide apply the results to a wide range of applications in topological data analysis (TDA) including topological summaries, persistence transforms and the special but important case of Vietoris-Rips complexes.

研究动机与目标

• 为解决拓扑数据分析中基于瓶颈的稳定性的局限性，特别是持久图空间中悲观的界和病态行为。
• 开发一种 p-Wasserstein 稳定性框架，为 p=1 或 p=2 优先的应用提供更紧致、更实用的界。
• 将稳定性结果从瓶颈距离扩展到更广泛的持久模类，通过 p-Wasserstein 距离的代数表述。
• 为拓扑摘要（如持久变换和灰度图像的下层集滤子）建立新的稳定性定理。
• 推导出在短正合序列中持久模的总持久性（范数）的几何界，包括上界和出人意料的下界。

提出的方法

• 通过利用持久图中点与细胞滤子中临界细胞之间的局部对应关系，引入细胞 p-Wasserstein 稳定性定理。
• 使用重排不等式论证，将 p-Wasserstein 距离与有限复形上函数扰动的 p-范数关联，从而界定持久图之间的 p-Wasserstein 距离。
• 为逐点有限维持久模开发 p-Wasserstein 距离的代数表述，将该概念推广至非区间可分解模的范畴。
• 定义持久模上的范数（总持久性），并证明短正合序列中具有 Minkowski 类型不等式，从而获得上界和下界。
• 将细胞稳定性定理应用于推导灰度图像的下层集滤子和持久同调变换的稳定性结果。
• 利用代数框架，通过一种新的插值对象概念，将稳定性推广至更复杂的设置，包括多参数模和基于层的持久性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖瓶颈稳定性或交错论证的前提下，为持久图建立 p-Wasserstein 稳定性？
• RQ2 在持久模的语境下，p-Wasserstein 距离如何实现代数表征，特别是在缺乏区间分解时？
• RQ3 p-Wasserstein 稳定性对持久变换和持久景观等拓扑摘要有何影响？
• RQ4 能否推导出短正合序列中模的总持久性的下界，其几何意义是什么？
• RQ5 在存在异常值或随机点过程（如泊松分布点云）的情况下，p-Wasserstein 界如何改进稳定性分析？

主要发现

• 证明了细胞 p-Wasserstein 稳定性定理，为有限复形提供了瓶颈稳定性的简化且直接的证明。
• 持久图之间的 p-Wasserstein 距离受函数扰动的 p-范数界定，相比经典的 ∞-Wasserstein（瓶颈）稳定性，提供了更紧致、更实用的界。
• 通过细胞框架，建立了灰度图像的下层集滤子、持久同调变换和 Vietoris-Rips 滤子的稳定性。
• 开发了一种新的 p-Wasserstein 距离代数表述，其在 ∞-Wasserstein 情况下恢复瓶颈距离，并在技术条件下适用于逐点有限维模。
• 在短正合序列中证明了总持久性的 Minkowski 类型不等式，获得上界和下界，其中下界为新颖的几何结果。
• 结果表明，持久景观在 1-Wasserstein 距离下不是利普希茨稳定的，从而解决了该领域一个关键开放问题。