[论文解读] Waste Makes Haste: Bounded Time Algorithms for Envy-Free Cake Cutting with Free Disposal

Erel Segal-Halevi, Avinatan Hassidim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文提出了带有自由处置的有界时间公平蛋糕分配算法，确保每位参与者获得的价值至少为蛋糕总价值的指定比例的连通或不连通部分。通过放宽必须分配全部蛋糕的要求，作者在有限时间内实现了三名或以上参与者的无 envy 分配，即使要求连通部分，从而解决了在严格分配下长期存在的不可能性问题。

ABSTRACT

We consider the classic problem of envy-free division of a heterogeneous good (“cake”) among several agents. It is known that, when the allotted pieces must be connected, the problem cannot be solved by a finite algorithm for three or more agents. The impossibility result, however, assumes that the entire cake must be allocated. In this article, we replace the entire-allocation requirement with a weaker partial-proportionality requirement: the piece given to each agent must be worth for it at least a certain positive fraction of the entire cake value. We prove that this version of the problem is solvable in bounded time even when the pieces must be connected. We present simple, bounded-time envy-free cake-cutting algorithms for (1) giving each of n agents a connected piece with a positive value; (2) giving each of three agents a connected piece worth at least 1/3; (3) giving each of four agents a connected piece worth at least 1/7; (4) giving each of four agents a disconnected piece worth at least 1/4; and (5) giving each of n agents a disconnected piece worth at least (1 − e)/n for any positive e.

研究动机与目标

• 解决在完全分配约束下，三名或以上参与者使用连通部分进行有界时间公平蛋糕分配的不可能性问题。
• 通过引入部分比例性要求，放宽完全分配约束，允许处置未使用的蛋糕部分。
• 设计有界时间算法，确保每位参与者获得连通或不连通部分，其价值至少为蛋糕总价值的指定比例。
• 将公平分配扩展至参与者必须获得连通部分的情形，即使参与人数超过三人。
• 提供在最小价值损失下实现公平的算法，损失程度由容差参数 e 量化。

提出的方法

• 引入部分比例性要求：每位参与者必须获得价值至少为蛋糕总价值分数 α 的部分，其中 α > 0。
• 使用递归的有界时间过程，通过逐步细化价值估计并根据参与者估值分配部分，模拟无限过程。
• 应用自由处置，丢弃未评估或低价值的蛋糕部分，避免必须分配每一部分。
• 为不同场景设计特定算法：三名参与者（1/3 价值）、四名参与者（1/7 价值）、n 名参与者（(1−e)/n 价值）。
• 采用共识分割方法，将蛋糕划分为若干段，使得每位参与者均认为其份额至少达到目标比例。
• 通过基于期望公平阈值和参与者数量的函数，限制查询和操作次数，确保所有算法在有限时间内终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无需分配全部蛋糕时，是否可以实现三名或以上参与者使用连通部分的有界时间公平蛋糕分配？
• RQ2 在有界时间公平算法中，使用连通部分对三名或以上参与者可保证的最小价值比例是多少？
• RQ3 当完全分配不可能时，自由处置如何实现有限时间内的公平分配？
• RQ4 在连通份额下，公平性（价值比例）与计算效率之间的权衡是什么？
• RQ5 能否为不连通部分构造有界时间公平算法，使公平性保证趋近于 n 名参与者的 1/n？

主要发现

• 对于三名参与者，存在一个有界时间公平算法，每位参与者获得价值至少为蛋糕总价值 1/3 的连通部分。
• 对于四名参与者，有界时间算法确保每位参与者获得价值至少为蛋糕总价值 1/7 的连通部分。
• 对于 n 名参与者，有界时间算法确保每位参与者获得价值至少为蛋糕总价值 (1−e)/n 的不连通部分，其中 ε > 0。
• 使用自由处置可规避三名或以上参与者使用连通部分时的经典不可能性结果。
• 所有算法均显式构造，且在有限时间内终止，查询和操作次数由公平阈值和参与者数量的函数有界。
• 结果表明，在允许自由处置的前提下，即使要求连通部分，有界时间公平分配在部分比例性条件下仍可实现。