[论文解读] Water waves problem with surface tension in a corner domain I: A priori estimates with constrained contact angle

Ming Mei, Chao Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Arctic and Antarctic ice dynamics参考文献 38被引用 5

一句话总结

本论文针对自由表面与底部以非零接触角相交的角域中具有表面张力的二维水波问题，建立了先验估计。通过在角域中应用椭圆估计并结合几何方法，作者证明了当接触角远离零时的能量估计成立，从而确保在接触角小于 $\pi/6$ 时不会出现奇异性。关键结果是一个封闭的能量估计，可控制在接触点处满足物理解释边界条件的系统演化。

ABSTRACT

We study the two dimensional water waves problem with surface tension in the case when there is a non-zero contact angle between the free surface and the bottom. In the presence of surface tension, dissipations take place at the contact point. Moreover, when the contact angle is less than $π/6$, no singularity appears in our settings. Using elliptic estimates in corner domains and a geometric approach, we prove an a priori estimate for the water waves problem.

研究动机与目标

• 在自由表面与底部以非零接触角相交的二维角域中，为具有表面张力的水波问题建立先验估计。
• 分析接触点附近的系统行为，该处由于表面张力和接触角约束而产生耗散。
• 证明当接触角小于 $\pi/6$ 时解中不会形成奇异性，从而保证解的正则性。
• 通过引入接触点处的耗散并控制接触角的演化，推导出一个封闭的能量估计。
• 验证涉及有效摩擦系数和适用于运动流体的修正杨氏定律的边界条件的物理一致性。

提出的方法

• 作者采用几何方法将水波问题在拉格朗日坐标下重新表述，重点研究雅可比行列式 $J$ 及其物质导数 $D_t J$ 的演化。
• 在具有非光滑边界的角域中应用椭圆估计与迹定理，以考虑接触点附近的奇异行为。
• 通过引入涉及换位子估计与曲率项 $\kappa_{\mathcal{H}}$ 的新 $J$ 的表述形式，处理非线性结构。
• 利用修正的杨氏定律条件 $\beta_c v_c = \sigma(\cos\omega_s - \cos\omega)$ 推导出接触点处的耗散方程，该条件用于建模由于界面应力不平衡引起的滑移速度。
• 构造能量泛函 $E(t)$，其中包含动能、表面张力能和曲率项，并引入耗散项 $F(t)$ 以捕捉接触点处的能量损失。
• 通过用 $E(t)$ 的多项式有界所有变分方程中的项，推导出先验估计，得到封闭能量不等式 $\partial_t E(t) + F(t) \leq P(E(t))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种接触角条件下，具有表面张力的水波问题在角域中保持正则性？
• RQ2 如何为具有表面张力的非光滑角型域中的水波系统建立先验估计？
• RQ3 接触点处的耗散在防止解中出现奇异性方面起什么作用？
• RQ4 修正的杨氏定律条件 $\beta_c v_c = \sigma(\cos\omega_s - \cos\omega)$ 如何影响能量演化与正则性？
• RQ5 当接触角始终保持远离零时，能量估计能否在时间上一致地封闭？

主要发现

• 作者证明：当接触角 $\omega(t)$ 满足对所有 $t \in [0, T_0]$ 有 $\omega(t) < \pi/6$ 时，解中不会出现奇异性，从而保证该参数区间内解的正则性。
• 建立了封闭能量估计：$\partial_t E(t) + F(t) \leq P(E(t))$，其中 $E(t)$ 为总能量，$F(t)$ 为接触点处的耗散。
• 证明了能量 $E(t)$ 可由其初始值和时间的多项式增长控制，前提是接触角始终保持远离零。
• 证明了接触角 $\omega(t)$ 满足 $\sin\omega(t) \geq c_0 > 0$，其中 $c_0$ 为某正常数，且该不等式在 $[0, T_0]$ 上成立，这对避免退化至关重要。
• 通过项 $\frac{\sigma^3}{4\beta_c}F(t)$ 对接触点处的耗散进行了量化，该贡献项促进能量衰减并确保稳定性。
• 该方法通过在角域中利用椭圆估计与迹估计，将所有非线性项用 $P(E(t))$（能量的多项式）有界，从而成功地封闭了能量估计。