[论文解读] Watersheds, waterfalls, on edge or node weighted graphs

Fernand Meyer|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Data Management and Algorithms参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种统一的代数框架，用于在节点加权或边加权图上进行分水岭分割，采用字典序距离与剪枝算子，表明增加路径陡度可减少分水岭区域的模糊性。该研究建立了剪枝后的非上升路径与字典序测地线之间的等价性，并引入了瀑布层次结构，通过迭代分水岭优化构建最小生成树，从而在无限陡度下为自然图像生成唯一且稳定的分割结果。

ABSTRACT

We present an algebraic approach to the watershed adapted to edge or node weighted graphs. Starting with the flooding adjunction, we introduce the flooding graphs, for which node and edge weights may be deduced one from the other. Each node weighted or edge weighted graph may be transformed in a flooding graph, showing that there is no superiority in using one or the other, both being equivalent. We then introduce pruning operators extract subgraphs of increasing steepness. For an increasing steepness, the number of never ascending paths becomes smaller and smaller. This reduces the watershed zone, where catchment basins overlap. A last pruning operator called scissor associates to each node outside the regional minima one and only one edge. The catchment basins of this new graph do not overlap and form a watershed partition. Again, with an increasing steepness, the number of distinct watershed partitions contained in a graph becomes smaller and smaller. Ultimately, for natural image, an infinite steepness leads to a unique solution, as it is not likely that two absolutely identical non ascending paths of infinite steepness connect a node with two distinct minima. It happens that non ascending paths of a given steepness are the geodesics of lexicographic distance functions of a given depth. This permits to extract the watershed partitions as skeletons by zone of influence of the minima for such lexicographic distances. The waterfall hierarchy is obtained by a sequence of operations. The first constructs the minimum spanning forest which spans an initial watershed partition. The contraction of the trees into one node produces a reduced graph which may be submitted to the same treatment. The process is iterated until only one region remains. The union of the edges of all forests produced constitutes a minimum spanning tree of the initial graph.

研究动机与目标

• 通过在节点加权图与边加权图之间统一定义与算法，解决分水岭分割中的不一致性问题。
• 解决由于连接到不同极小值的多条非上升路径导致的分水岭区域划分模糊性问题。
• 提供一种系统化方法，通过增加路径陡度来减少等价的分水岭分区数量。
• 通过迭代分水岭构建（瀑布层次结构）建立最小生成树的层次分解。
• 证明字典序距离与剪枝算子的结果与经典测地线及核心扩展算法等价。

提出的方法

• 在加权图上引入非上升路径与非下降路径，以定义汇水盆地与分水岭区域。
• 通过增加深度（深度1：泛滥距离，深度2：地形距离）定义字典序距离，以优化路径选择。
• 应用剪枝算子 $\downarrow^{k}$ 与 $\zeta^{(k)}$ 提取越来越陡的路径，从而减少分水岭区域分配中的模糊性。
• 使用剪刀算子 $\chi$ 将每个非极小值节点唯一地分配给一个极小值，确保单一的分水岭分区。
• 采用核心扩展算法与层次队列方法，高效计算字典序测地线与各影响区的骨架。
• 通过递归收缩分水岭森林并重新应用分水岭分割，直至仅剩一个区域，构建瀑布层次结构，形成最小生成树。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过统一的代数框架在节点加权图与边加权图上一致地定义分水岭分割？
• RQ2 增加路径陡度对分水岭区域的大小与稳定性有何影响？
• RQ3 在分水岭分区背景下，字典序距离如何与非上升路径及测地线相关联？
• RQ4 瀑布层次结构能否被解释为最小生成树的层次分解？
• RQ5 剪枝与字典序深度在减少等价分水岭分区数量方面起到什么作用？

主要发现

• 通过增加陡度 $k$ 剪枝路径可减少非上升路径的数量，从而缩小分水岭区域并最小化汇水盆地分配的模糊性。
• 剪枝 $\downarrow^{k}$ 或 $\zeta^{(k)}$ 后的非上升路径集合，等价于深度 $k$ 字典序距离下的测地线集合，建立了路径剪枝与距离度量之间的正式联系。
• 在无限陡度下，等价分水岭分区的数量减少为一个，确保自然图像的唯一分割。
• 通过在收缩森林上迭代应用分水岭构建的瀑布层次结构，生成了按陡度嵌套排序的最小生成树。
• 经典最小生成森林（MSF）与最小生成树（MST）可扩展至节点加权图，并基于路径陡度划分为嵌套类。
• 核心扩展算法与层次队列被证明在计算字典序测地线方面极为高效，尤其适用于深度1与深度2。