[论文解读] Wave-corpuscle mechanics for elementary charges

Anatoli Babin, Alexander Figotin|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2008

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一句话总结

本文提出波-粒子力学作为经典场论框架，以解决电磁学中点电荷的自能发散问题。通过将基本电荷建模为具有非线性自相互作用项的局域复值波函数，该理论得出精确解，这些解在非相对论运动下重现牛顿动力学和 de Broglie 波行为，同时保持洛伦兹对称性和规范不变性。

ABSTRACT

It is well known that a concept of point charge interacting with electromagnetic (EM) field has a problem. To address that problem we introduce a concept of wave-corpuscle to describe spinless elementary charges interacting with the classical EM field. Every charge interacts only with the EM field and is described by a complex valued wave function over 4-dimensional space time continuum. A system of many charges interacting with the EM field is defined by a local, gauge and Lorentz invariant Lagrangian with a key ingredient - a nonlinear self-interaction term providing for a cohesive force assigned to every charge. An ideal wave-corpuscle is an exact solution to the Euler-Lagrange equations describing both free or accelerated motion. It carries explicitly features of a point charge and the de Broglie wave. A system of well separated charges moving with nonrelativistic velocities are represented accurately as wave-corpuscles governed by the Newton motion equations for point charges interacting with the Lorentz forces. In this regime the nonlinearities are "stealthy" and don't show explicitly anywhere, but they provide for binding forces that keep localized every individual charge.

研究动机与目标

• 解决点电荷与电磁场相互作用时经典电动力学中的自能发散问题。
• 发展一种洛伦兹和规范不变的经典场论，将基本电荷描述为局域的波-粒子。
• 在非相对论极限下，利用波-粒子解重现点电荷在洛伦兹力作用下的动力学行为。
• 在确定性的经典框架内统一经典电动力学、de Broglie 物质波和量子类行为的特征。

提出的方法

• 引入时空上的复值波函数来表示每个电荷，取代点粒子模型。
• 构建一个局域的、规范不变的、洛伦兹不变的拉格朗日量，其中包含一个非线性自相互作用项，以使波函数形成局域结构。
• 从拉格朗日量推导欧拉-拉格朗日方程，描述波-粒子的自由运动和加速运动。
• 利用能量-动量张量和平均量，在非相对论区域恢复点粒子动力学。
• 使用格林函数和傅里叶变换求解场方程并分析波函数结构。
• 证明非线性项作为一种“隐蔽的”束缚力，在经典方程中不可见，但对局域化至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种经典场论，能够描述局域的、点状电荷，而避免经典电动力学中的自能发散问题？
• RQ2 波-粒子模型如何在保持规范和洛伦兹不变性的前提下，重现非相对论运动下的洛伦兹力定律？
• RQ3 非线性自相互作用项在维持电荷局域化和实现 de Broglie 波行为中起什么作用？
• RQ4 加速电荷的波-粒子解如何与经典点粒子动力学及 de Broglie 假设相关联？
• RQ5 该框架在多大程度上重现了量子力学的特征，如薛定谔方程和连续性方程？

主要发现

• 波-粒子模型为欧拉-拉格朗日方程提供了精确解，能够描述具有点状特征的电荷的自由运动和加速运动。
• 在非相对论极限下，波-粒子动力学重现了牛顿第二定律与洛伦兹力，尽管非线性项是“隐蔽的”，在运动方程中并不显式出现。
• 非线性自相互作用项确保了电荷的局域化，并作为结合力，防止波函数弥散。
• 对于静止的单个自由电荷，波-粒子解表现出球对称的形状因子，其势能在远场渐近趋近于库仑势。
• 当波函数以概率密度和流的形式表达时，该理论在非相对论极限下重现了薛定谔方程，且具有相同的连续性方程。
• 从波-粒子模型导出的能量-动量张量可通过空间平均恢复点粒子力学，从而验证了经典极限。