[论文解读] Wave Dispersion in the Linearised Fractional Korteweg - de Vries equation

Ivano Colombaro, Andrea Giusti+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过比较分数阶时间导数与经典及运动波方程所得的相速度和群速度，研究了线性化分数阶Korteweg-de Vries（KdV）方程中的波色散。利用阶数为 $\alpha$ 的分数阶Caputo导数，表明色散关系变为复数值，导致相速度和群速度出现非平凡的实部与虚部，尤其在 $\alpha \neq 1$ 时表现显著，且在不同 $\alpha$ 值下观察到不同行为，包括在 $\alpha = 1/2$ 时出现完全虚数的相速度和群速度。

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of linear fractional dispersive waves. In particular, we compare the dispersion relations emerging from the kinematic wave equation and from the linearised Korteweg - de Vries equation with the corresponding time-fractionalized versions. For this purpose, we evaluate the expressions for the phase velocity and for the group velocity, highlighting the differences not only analytically, but also by means of illuminating plots.

研究动机与目标

• 分析分数阶时间导数如何改变线性色散系统中的波色散。
• 比较经典与分数阶版本的运动波方程和线性化KdV方程之间的色散关系、相速度和群速度。
• 研究由于分数阶导数导致的相速度和群速度变为复数值的现象。
• 通过数值方法说明当 $\alpha$ 变化时，相速度和群速度的实部向虚部过渡的过程，特别是 $\alpha = 1/2$ 和 $\alpha = 3/4$ 时的情况。

提出的方法

• 使用傅里叶变换推导出具有普通导数和分数阶时间导数的线性化KdV方程的色散关系。
• 应用阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的Caputo分数阶导数以模拟波传播中的记忆效应。
• 将角频率 $\omega(k)$ 表示为包含 $i^{-1+1/\alpha}$ 的复函数，从而得到复数相速度和群速度。
• 利用 $\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}$ 的三角函数计算相速度和群速度的实部与虚部。
• 使用数值图像比较不同 $\alpha$ 值（包括 $\alpha = 1$、$\alpha = 1/2$ 和 $\alpha = 3/4$）下的相速度和群速度。
• 分析相速度和群速度的实部或虚部相等的临界点处的速度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 将一阶时间导数替换为阶数为 $\alpha$ 的分数阶Caputo导数后，对运动波方程的色散关系有何影响？
• RQ2 分数阶线性化KdV方程在不同 $\alpha$ 值下，相速度和群速度的解析与数值行为如何？
• RQ3 在何种条件下相速度和群速度会完全变为虚数，其物理意义是什么？
• RQ4 经典与分数阶KdV方程在相速度和群速度的实部与虚部上存在哪些差异？
• RQ5 是否存在某个 $\alpha$ 值使得相速度和群速度的实部消失，其对应的数学条件是什么？

主要发现

• 对于分数阶运动波方程，相速度 $v_p(k)$ 变为复数值，其实部与 $\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)k^{1/\alpha - 1}$ 成正比。
• 当 $\alpha = 1/2$ 时，相速度和群速度完全为虚数，因为实部中的余弦项因参数为 $\pi/2$ 而消失。
• 对于分数阶线性化KdV方程，相速度为 $v_p(k) = \cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k^{1-\alpha} - k^{3-\alpha}\right)^{1/\alpha}$，表现出非平凡的色散特性。
• 分数阶KdV方程的群速度 $v_g(k)$ 为 $\frac{1}{\alpha}\cos\left(\left(\frac{1}{\alpha} - 1\right)\frac{\pi}{2}\right)\left(k - k^3\right)^{1/\alpha - 1}\left(1 - 3k^2\right)$，表明其对 $k$ 和 $\alpha$ 有强烈依赖性。
• 数值结果表明，当 $\alpha = 3/4$ 时，相速度和群速度的实部与虚部均非零，表明呈现混合行为。
• 存在特定的 $k$ 值使得 $\text{Re}(\overline{v_p}) = \text{Re}(v_g)$ 且 $\text{Im}(\overline{v_p}) = \text{Im}(v_g)$，表明在复速度平面上存在类似共振的点。