[论文解读] Wave function of the Universe as a sum over eventually inflating universes

Karthik Rajeev|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 25被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种新颖的量子宇宙学波函数，定义为最终会暴胀的宇宙之和，采用 minisuperspace 中的洛伦兹路径积分。结果表明，该波函数与哈特尔-孝普波函数成正比，且对初始条件参数 $a_0$ 具有不变性；将 $a_0$ 解析延拓至复平面，揭示了无边界提案作为边界点，且微扰部分给出一个标度不变的功率谱，通过与无边界态匹配唯一确定。

ABSTRACT

We consider a proposal to define the wave function of the Universe as a sum over spacetimes that eventually inflate. In the minisuperspace model, we explicitly show that a simple family of initial conditions, parametrized by a positive real number $a_0$, can be imposed to realise this prescription. The resulting wave function is found to be proportional to the Hartle-Hawking wave function and its dependence on $a_0$ is only through an overall phase factor. Motivated by this observation, we ask whether it is possible to analytically extend $a_0$ to an extended region $\bar{\mathcal{D}}$ in complex $a_0-$plane, while retaining the Hartle-Hawking form of the wave function. We use the condition for convergence of path integral and a recent theorem due to Kontsevich and Segal, further extended by Witten, to explicitly find $\bar{\mathcal{D}}$. Interestingly, a special point on the boundary of $\bar{\mathcal{D}}$ recovers the exact no-boundary wave function. Following that, we show that our prescription leads to a family of quantum states for the perturbations, which give rise to scale-invariant power spectra. If we demand, as an extra ingredient to our prescription, a matching condition at the "no-boundary point" in $\bar{\mathcal{D}}$, we converge on a unique quantum state for the perturbations.

研究动机与目标

• 开发一种量子宇宙学框架，将暴胀视为通往暴胀的时空路径积分的自然结果。
• 通过用物理上合理、有利于未来暴胀的初始条件替代严格的无边界或紧致几何，解决量子宇宙学中的初始条件挑战。
• 研究所得波函数是否可在复 $a_0$-平面上进行解析延拓，以及这是否能深化对哈特尔-孝普波函数的理解。
• 从所提出的方案推导宇宙微扰的量子态，并确定其是否产生标度不变的功率谱。
• 探索在无边界点施加额外匹配条件是否能唯一选择布奇-戴维斯真空，从而与标准暴胀预测相联系。

提出的方法

• 将波函数定义为在最终进入 de Sitter 相位的洛伦兹几何上进行的洛伦兹路径积分，初始条件由正实数 $a_0$ 参数化。
• 对尺度因子及其共轭动量施加边界条件，仅选择具有未来暴胀的宇宙，以确保路径积分定义良好且收敛。
• 使用 Kontsevich-Segal 定理及其由 Witten 扩展的形式，确定复 $a_0$-平面上波函数可进行解析延拓的区域 $\bar{D}$。
• 计算背景波函数并证明其与哈特尔-孝普波函数成正比，且仅通过整体相位依赖于 $a_0$。
• 围绕 de Sitter 鞍点对线性微扰进行量子化，推导相应的量子态，表明其在大-$p_1$ 极限下产生标度不变的功率谱。
• 在 $a_0 = i/H$ 处对微扰波函数与无边界态施加匹配条件，唯一确定量子态为布奇-戴维斯真空。

实验结果

研究问题

• RQ1 对最终会暴胀的宇宙进行路径积分，是否能产生与哈特尔-孝普提案一致的波函数？
• RQ2 波函数是否对初始条件参数 $a_0$ 的变化保持不变，这对初始切片的物理解释意味着什么？
• RQ3 在复 $a_0$-平面上，波函数可进行解析延拓的最大区域 $\bar{D}$ 是什么，且在此区域内保持其形式？
• RQ4 所提出的背景波函数方案是否导致宇宙微扰的标度不变功率谱？
• RQ5 通过在无边界点施加额外匹配条件，是否能唯一恢复布奇-戴维斯真空？

主要发现

• 由最终暴胀宇宙之和得到的波函数与哈特尔-孝普波函数成正比，且对 $a_0$ 的依赖仅体现为整体相位因子。
• 利用收敛性准则和 Kontsevich-Segal 定理，明确确定了复 $a_0$-平面上波函数可收敛且可进行解析延拓的区域 $\bar{D}$。
• 值 $a_0 = i/H$ 位于 $\bar{D}$ 的边界上，且在此点波函数精确重现哈特尔-孝普波函数。
• 理论的微扰部分在大-$p_1$ 极限下产生宇宙微扰的标度不变功率谱，与暴胀预测一致。
• 通过在 $a_0 = i/H$ 处对微扰波函数与无边界态施加匹配条件，从一维参数族的标度不变态中唯一确定了布奇-戴维斯真空。
• 整个构造表明，哈特尔-孝普波函数作为暴胀宇宙之和的复解析延拓而出现，从而精确地表明其为一个物理上合理的路径积分的复扩展。