[论文解读] Wavefront Sets of Unipotent Representations of Reductive $p$-adic Groups I

Dan Ciubotaru, Lucas Mason‐Brown+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

该论文为实无穷小特征的半单 $p$-进李群中不可约 Iwahori-球对称表示的波前集建立了精确公式，证明了代数波前集为单点——证实了 Mœglin 与 Waldspurger 的一个猜想。通过 Deligne-Langlands-Lusztig 对应关系以及幂零轨道的符号参数化，作者以 Langlands 参数表示波前集的下界，并在经典型与例外型中通过 $a$-符号与 Springer 对应关系实现显式构造，最终证明了波前集构造在所有类型中均保持忠实性。

ABSTRACT

The wavefront set is a fundamental invariant arising from the Harish-Chandra-Howe local character expansion of an admissible representation. We prove a precise formula for the wavefront set of an irreducible Iwahori-spherical representation with `real infinitesimal character' and determine a lower bound for this invariant in terms of the Deligne-Langlands-Lusztig parameters. In particular, for the Iwahori-spherical representations with real infinitesimal character, we deduce that the algebraic wavefront set is a singleton, as conjectured by Moeglin and Waldspurger. As a corollary, we obtain an explicit description of the wavefront set of an irreducible spherical representation with real Satake parameter.

研究动机与目标

• 确定半单 $p$-进李群中具有实无穷小特征的不可约 Iwahori-球对称表示的波前集。
• 以 Deligne-Langlands-Lusztig 参数建立波前集的精确公式。
• 证明此类表示的代数波前集为单点，证实 Mœglin 与 Waldspurger 的猜想。
• 通过局部 Langlands 对应关系，将波前集计算推广至具有实 Satake 参数的球对称表示。

提出的方法

• 利用 Deligne-Langlands-Lusztig 对应关系，通过 $ (s, n, \rho) $ 参数化不可约表示，其中 $ s $ 为半单元素，$ n $ 为幂零元素，$ \rho $ 为分量群 $ A(s,n) $ 的表示。
• 采用符号不变量——$ a $-符号与 $ s $-符号——对经典型与例外型李代数中的幂零轨道及其关联表示进行分类。
• 应用 Aubert-Zelevinsky 对偶性，关联 Bernstein 块之间的表示并保持半单参数 $ s $，从而实现波前集性质的传递。
• 在集合 $ \mathcal{F} \tilde{\Delta} $ 中显式构造配对 $ (J, \varphi) $ 以验证波前集条件，结合 Frobenius 同态与同调技术。
• 利用 GAP 计算验证在例外型中波前集构造的忠实性，当符号构造不足以满足时。
• 通过符号实现的 Springer 对应关系，将 Weyl 群的不可约表示与幂零轨道关联，从而实现波前集的显式确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半单 $p$-进李群中，不可约 Iwahori-球对称表示具有实无穷小特征时，其波前集是什么？
• RQ2 波前集如何与 unipotent L-包中的 Deligne-Langlands-Lusztig 参数 $ (s, n, \rho) $ 相关联？
• RQ3 此类表示的代数波前集是否为单点，正如 Mœglin 与 Waldspurger 所猜想？
• RQ4 具有实 Satake 参数的球对称表示的波前集能否通过局部 Langlands 对应关系显式描述？
• RQ5 $a$-符号与 Springer 对应关系在所有经典型与例外型中计算波前集时起什么作用？

主要发现

• 具有实无穷小特征的不可约 Iwahori-球对称表示的波前集为单点，证实了 Mœglin 与 Waldspurger 的猜想。
• 以 Deligne-Langlands-Lusztig 参数 $ (s, n, \rho) $ 建立了波前集的精确公式，波前集等于与 $ n $ 关联的幂零轨道。
• 波前集构造在所有经典型与例外型中均保持忠实性，通过显式 $ (J, \varphi) $ 配对及例外型中的 GAP 计算得到验证。
• 对于具有实 Satake 参数的球对称表示，波前集被显式描述为与参数的 $ a $-符号对应的幂零轨道。
• 证明依赖于使用 $ a $-符号与 $ s $-符号的符号框架，以参数化幂零轨道及其关联表示，同调技术确保了忠实性。
• 在所有情况下，波前集均由幂零元素 $ n $ 的轨道决定，且构造与 Aubert-Zelevinsky 对偶性及局部 Langlands 对应关系相容。