[论文解读] Wavelet-based Heat Kernel Derivatives: Towards Informative Localized Shape Analysis

Maxime Kirgo, Simone Melzi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文提出基于小波的热核导数作为用于局部化3D形状分析的新型多尺度工具，利用热核的时间导数在曲面上直接构建局部化的墨西哥帽小波。该方法实现了高精度、高效的delta函数重建与转移，并在部分形状匹配和大规模形状匹配任务中达到最先进性能，速度优于现有方法的同时保持高精度。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new construction for the Mexican hat wavelets on shapes with applications to partial shape matching. Our approach takes its main inspiration from the well-established methodology of diffusion wavelets. This novel construction allows us to rapidly compute a multiscale family of Mexican hat wavelet functions, by approximating the derivative of the heat kernel. We demonstrate that it leads to a family of functions that inherit many attractive properties of the heat kernel (e.g., a local support, ability to recover isometries from a single point, efficient computation). Due to its natural ability to encode high-frequency details on a shape, the proposed method reconstructs and transfers $\delta$-functions more accurately than the Laplace-Beltrami eigenfunction basis and other related bases. Finally, we apply our method to the challenging problems of partial and large-scale shape matching. An extensive comparison to the state-of-the-art shows that it is comparable in performance, while both simpler and much faster than competing approaches.

研究动机与目标

• 开发一种用于3D形状分析的局部化、多尺度表示方法，以克服拉普拉斯-贝尔特里米亚特征函数等全局低通基函数的局限性。
• 在部分形状和高度不同的三角剖分等具有挑战性的场景下，实现精确的点对点对应。
• 提供一种计算高效的替代方案，以替代复杂的流水线（如部分功能映射），同时在性能上匹配或超越其表现。
• 构建一个局部化、冗余的基函数集合（字典），以比标准谱基函数更忠实的方式捕捉高频细节。

提出的方法

• 该方法通过在曲面的表面上近似热核的时间导数来构建墨西哥帽小波，避免使用谱分解。
• 它利用拉普拉斯-贝尔特里米亚算子定义的扩散过程，确保局部支撑性，并能从单个点恢复等距性。
• 通过多尺度扩散框架高效计算小波函数，实现在多个尺度上的快速评估。
• 由此生成的函数族构成一个冗余框架（即冗余基函数），相比LBO特征函数可提供更丰富的函数表示能力。
• 该方法使用稀疏初始对应关系来启动映射过程，显著降低计算成本。
• 它通过紧凑且局部化的表示实现函数转移与密集对应，同时保留精细的几何细节。

实验结果

研究问题

• RQ1 热核的时间导数能否用于构建用于3D形状分析的局部化、信息丰富的小波？
• RQ2 与标准LBO特征函数相比，该小波构造在重建delta函数和跨形状转移函数方面是否表现更优？
• RQ3 该方法是否能在部分形状匹配和大规模形状匹配任务中实现具有竞争力的性能，同时显著快于最先进方法？
• RQ4 在不同网格连通性和部分形状设置下，该方法表现如何？

主要发现

• 在较低内存预算下，该方法比拉普拉斯-贝尔特里米亚特征函数基及其他相关基函数更精确地重建和转移delta函数。
• 在SHREC16部分切割基准测试中，该方法性能与部分功能映射（PFM）相当，后者为当前最先进方法，尤其在使用精确稀疏对应初始化时表现更优。
• 该方法平均每个形状对的计算时间为46.2秒，优于PFM稀疏（99.5秒）和PFM（240.9秒），实现了13倍的速度提升。
• 当在猫类数据上使用20或30个真实对应点初始化时，该方法表现与PFM相当或更优，表明其对稀疏初始化具有鲁棒性。
• 基于小波的表示形成一个冗余字典，其函数表示能力优于LBO特征函数、扩散函数及其他基函数。
• 该方法继承了热核的关键特性，如能从单个点恢复等距性，同时保持局部支撑性和高效计算。