[论文解读] Wavelet frames, Bergman spaces and Fourier transforms of Laguerre functions

Luís Daniel Abreu|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过拉盖尔函数的傅里叶变换作为分析小波，建立了一种小波框架构造，类比于加博尔分析中的厄米特函数。推导出平移-缩放格栅在加权 Bergman 空间中生成框架的充分密度条件，表明所需密度随拉盖尔指标 $ n $ 减小，对双曲格栅给出了显式边界 $ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $。

ABSTRACT

The Fourier transforms of Laguerre functions play the same canonical role in wavelet analysis as do the Hermite functions in Gabor analysis. We will use them as analyzing wavelets in a similar way the Hermite functions were recently by K. Groechenig and Y. Lyubarskii in "Gabor frames with Hermite functions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 157-162 (2007)". Building on the work of K. Seip, "Beurling type density theorems in the unit disc, Invent. Math., 113, 21-39 (1993)", concerning sampling sequences on weighted Bergman spaces, we find a sufficient density condition for constructing frames by translations and dilations of the Fourier transform of the nth Laguerre function. As in Groechenig-Lyubarskii theorem, the density increases with n, and in the special case of the hyperbolic lattice in the upper half plane it is given by b\log a

研究动机与目标

• 解决小波框架缺乏类似加博尔分析中已知结果的通用密度定理的问题。
• 通过 Bergman 变换和解析函数空间中的正交基，识别小波系统中的典型小波。
• 建立由第 $ n $ 个拉盖尔函数的傅里叶变换生成的平移-缩放系统构成框架的充分密度条件。
• 利用 Bergman 变换同构，将施佩的加权 Bergman 空间密度结果推广到小波框架设置。
• 提供类似于格罗琴尼希-柳巴尔斯基在加博尔分析中的结构框架，用于小波框架。

提出的方法

• 将第 $ n $ 个拉盖尔函数的傅里叶变换 $ S_n^\beta $ 作为小波变换中的分析小波。
• 应用 Bergman 变换，将小波系统从 $ L^2(\mathbb{R}) $ 映射到上半平面或单位圆上的加权 Bergman 空间。
• 利用 Hardy 空间 $ H^2(\mathbb{U}) $ 与 Bergman 空间 $ A^{2\alpha+1}(\mathbb{U}) $ 之间的同构关系，将框架问题转移至解析函数空间。
• 应用 Seip 在加权 Bergman 空间中采样序列的密度定理，推导出框架生成的充分密度条件。
• 推导上半平面中双曲格栅的显式框架条件，得到 $ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $，其中 $ \alpha $ 为拉盖尔参数。
• 利用超几何表示和分式线性变换，将 $ S_n^\alpha(t) $ 表示为圆周上正交多项式（圆周雅可比多项式）的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 由第 $ n $ 个拉盖尔函数的傅里叶变换生成的平移-缩放系统在 $ L^2(\mathbb{R}) $ 中构成框架的充分密度条件是什么？
• RQ2 框架生成所需的密度如何依赖于拉盖尔指标 $ n $ 和参数 $ \alpha $？
• RQ3 能否通过 Bergman 变换将小波框架问题转化为加权 Bergman 空间中的采样问题？
• RQ4 拉盖尔函数的傅里叶变换在小波分析中是否具有典型性，类似于加博尔分析中厄米特函数的角色？
• RQ5 函数 $ S_n^\alpha(t) $ 具有哪些结构性质（如正交性、递推关系），以及如何在计算中加以利用？

主要发现

• 拉盖尔函数的傅里叶变换 $ S_n^\alpha $ 在小波系统中作为典型分析小波，类比于加博尔分析中的厄米特函数。
• 通过加权 Bergman 空间中 Seip 的采样定理，推导出利用 $ S_n^\alpha $ 的平移与缩放生成框架的充分密度条件。
• 对于上半平面中的双曲格栅，框架条件为 $ |b \log a| < \frac{4\pi}{2n + \alpha} $，其中 $ \alpha $ 为拉盖尔参数，$ n $ 为拉盖尔指标。
• 函数 $ S_n^\alpha(t) $ 在实直线上正交，并对应于 Bergman 变换下 $ z^n $ 的原像，在 $ H^2(\mathbb{U}) $ 中构成正交基。
• 函数 $ S_n^\alpha(t) $ 可表示为 $ C^{\alpha,n} (1/2 - it)^{-\alpha/2 -1} F(-n, \alpha/2 +1; \alpha+1; 1/(1/2 - it)) $，即一个有限超几何级数，退化为 $ n $ 次多项式。
• 通过变换 $ z = (2t - i)/(2t + i) $，$ S_n^\alpha(t) $ 映射为圆周雅可比正交多项式 $ g_n^\alpha(z) $ 的倍数，从而可实现高效的三步递推计算。