[论文解读] Wavelets in Banach Spaces

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|Jul 25, 1998

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 38被引用 10

一句话总结

本文提出了一种利用可容许群表示在巴拿赫空间中构造小波和相干态的新方法，重点在于纯数学中的应用。核心贡献是一个通用框架，将小波理论从希尔伯特空间扩展至一般巴拿赫空间，从而通过海森堡群表示实现算子值塞格尔-巴格曼空间和魏尔函数演算的应用。

ABSTRACT

We describe a construction of wavelets (coherent states) in Banach spaces generated by ``admissible'' group representations. Our main targets are applications in pure mathematics while connections with quantum mechanics are mentioned. As an example we consider operator valued Segal-Bargmann type spaces and the Weyl functional calculus. Keywords: Wavelets, coherent states, Banach spaces, group representations, covariant, contravariant (Wick) symbols, Heisenberg group, Segal-Bargmann spaces, Weyl functional calculus (quantization), second quantization, bosonic field.

研究动机与目标

• 通过李群表示理论将小波理论从希尔伯特空间推广至一般巴拿赫空间。
• 在巴拿赫空间中发展适合数学物理和算子理论的相干态形式化。
• 在海森堡群的背景下，建立小波、相干态与魏尔函数演算之间的联系。
• 引入算子值塞格尔-巴格曼型空间作为巴拿赫空间中的一类新函数空间。
• 为第二次量子化和玻色场量子化提供该广义小波框架的理论基础。

提出的方法

• 该构造依赖于在离散系列或平方可积向量意义下可容许的李群的酉表示。
• 小波被定义为群作用于巴拿赫空间中固定向量所产生的相干态，推广了标准的加伯或小波变换。
• 该框架采用协变和逆变符号（威克符号）将算子与相空间上的函数关联起来。
• 海森堡群作为主要示例，其在 L^p 空间上的表示被用于在基于 L^p 的巴拿赫空间中生成小波。
• 本文引入了一种广义的塞格尔-巴格曼变换，将 L^p 函数映射到算子值巴拿赫空间中的全纯函数。
• 魏尔函数演算被扩展到此设置，允许通过算子值核对相空间函数进行量子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过群表示而非希尔伯特空间结构在巴拿赫空间中系统地构造小波？
• RQ2 可容许表示在非希尔伯特空间设置中生成连续小波变换中起什么作用？
• RQ3 巴拿赫空间中的相干态如何与魏尔函数演算和算子量子化相关联？
• RQ4 塞格尔-巴格曼型空间能否推广至巴拿赫空间中的算子值函数？
• RQ5 该框架对第二次量子化和玻色场论有何影响？

主要发现

• 本文建立了一种通用方法，通过可容许群表示在巴拿赫空间中构造小波和相干态，将经典小波理论从希尔伯特空间推广至更一般空间。
• 海森堡群表示提供了一个典范示例，其中在 L^p 空间（1 ≤ p ≤ ∞）中构造了小波。
• 引入了算子值塞格尔-巴格曼空间作为巴拿赫空间中全纯函数的新类，其取值为算子。
• 魏尔函数演算被扩展到此框架，允许通过算子值核对相空间函数进行量子化。
• 该理论支持一种广义的第二次量子化程序，可通过相干态表示应用于玻色场论。
• 该框架在单一巴拿赫空间设置中统一了相干态、小波和量子化，具有在泛函分析和数学物理中的应用。