[论文解读] Wavelets with the Translation Invariance Property of Order N

S. Schäffer, Eric Weber|ArXiv.org|Feb 15, 2000

Image and Signal Denoising Methods参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入并构造了具有新型 n 阶平移不变性性质的小波，其中广义多分辨率分析（GMRA）子空间 $ V_j $ 仅在 $ j \geq n $ 时对整数平移保持不变。作者证明了对于任意膨胀因子 $ d \geq 2 $，此类小波均存在，方法是通过小波集的频域插值，并表明这些小波构成嵌套的、非闭合的集合 $ \mathcal{M}_n $，从而推广了 MSF 小波。

ABSTRACT

All wavelets can be associated to a multiresolution like structure, i.e. an incr easing sequence of subspaces of L^2(R). We consider the interaction of a wavel et and the translation operator in terms of which of the subspaces in this multi resolution like structure are invariant under the translation operator. This ac tion defines the notion of the translation invariance property of order n. In this paper we show that wavelets of all levels of translation invariance exist, first for the classic case of dilation by 2, and then for arbitrary integral di lation factors.

研究动机与目标

• 定义并表征满足以下性质的小波：仅当 $ j \geq n $ 时，子空间 $ V_j $ 对整数平移保持不变。
• 通过引入不变性的层级结构，将平移不变性的概念从 MSF 小波（对所有 $ j \in \mathbb{Z} $ 均保持不变）推广至更高阶。
• 证明对于任意整数膨胀因子 $ d \geq 2 $，此类小波均存在，从而推广了仅针对 $ d=2 $ 的先前结果。
• 分析集合 $ \mathcal{L}_n $ 和 $ \mathcal{M}_n $ 的拓扑结构，表明 $ \mathcal{L}_n $ 是相对闭集，而 $ \mathcal{M}_n $ 不是。

提出的方法

• 通过 $ V_{-n} $ 在 $ T^{m/d^n} $ 下的不变性来定义 n 阶平移不变性，将其与 $ W_0 $ 在相同算子下的不变性联系起来。
• 利用傅里叶变换通过 $ \hat{\psi} $ 的支集来表征小波，重点关注在平移 $ 2\pi/d^n $ 下具有部分自相似性的集合。
• 通过小波集的插值对 $ W $ 和 $ W_n $ 构造小波，其中 $ W_n \to W $ 以对称差度量收敛，确保在 $ L^2 $ 中收敛。
• 应用 Merrill 定理，验证所得广义尺度集 $ E_n $ 满足生成小波所需的必要条件。
• 使用测度论论证，结合 $ L^2 $ 收敛性和傅里叶变换的统一有界性，证明 $ \mathcal{L}_j $ 在极限下是闭的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意给定的 $ n \in \mathbb{N} $，是否存在小波使得 GMRA 子空间 $ V_j $ 仅在 $ j \geq n $ 时对整数平移保持不变？
• RQ2 此类小波能否为任意整数膨胀因子 $ d \geq 2 $ 构造，而不仅限于 $ d=2 $？
• RQ3 具有 n 阶平移不变性的集合 $ \mathcal{M}_n $ 在 $ L^2 $ 拓扑下是否闭？
• RQ4 这些小波与对应于 $ \mathcal{M}_\infty $ 的 MSF 小波有何关系？

主要发现

• 对于每个正整数 $ n $，均存在具有 n 阶平移不变性的小波，即 $ \mathcal{M}_n \neq \emptyset $，且对任意整数膨胀因子 $ d \geq 2 $ 均成立。
• 由满足 $ V_{-n} $ 平移不变性的小波构成的集合 $ \mathcal{L}_n $ 在 $ L^2 $ 范数下是相对闭集。
• 集合 $ \mathcal{M}_n $（即 $ \mathcal{L}_n \setminus \mathcal{L}_{n+1} $）不是闭集，这通过 $ \mathcal{M}_1 $ 中一个序列收敛于 $ \mathcal{M}_\infty $ 中的 MSF 小波得到证明。
• 可通过在频域中对小波集进行插值，利用收敛于极限集合的广义尺度集 $ E_n $，构造具有高阶平移不变性的小波。
• 该构造依赖于在平移 $ 2\pi/d^n $ 下具有部分自相似性的频域集合，从而确保 $ W_0 $ 中所需的不变性。