[论文解读] WavmatND: A MATLAB Package for Non-Decimated Wavelet Transform and its Applications

Minkyoung Kang, Brani Vidaković|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Image and Signal Denoising Methods参考文献 11被引用 5

一句话总结

本论文介绍了 WavmatND，一个 MATLAB 工具包，通过使用矩阵乘法而非卷积来加速非下采样小波变换（NDWT），实现了更快的计算速度、通过权重矩阵实现的无损重建，并支持非二进制尺寸的 1D 和 2D 信号。该方法显著减少了计算时间，并支持在 2D 变换中灵活选择小波基。

ABSTRACT

A non-decimated wavelet transform (NDWT) is a popular version of wavelet transforms because of its many advantages in applications. The inherent redundancy of this transform proved beneficial in tasks of signal denoising and scaling assessment. To facilitate the use of NDWT, we built a MATLAB package, {\bf WavmatND}, which has three novel features: First, for signals of moderate size the proposed method reduces computation time of the NDWT by replacing repetitive convolutions with matrix multiplications. Second, submatrices of an NDWT matrix can be rescaled, which enables a straightforward inverse transform. Finally, the method has no constraints on a size of the input signal in one or in two dimensions, so signals of non-dyadic length and rectangular two-dimensional signals with non-dyadic sides can be readily transformed. We provide illustrative examples and a tutorial to assist users in application of this stand-alone package.

研究动机与目标

• 解决基于重复卷积的传统 NDWT 方法在 MATLAB 中计算成本过高的问题。
• 通过专用权重矩阵，实现经 NDWT 变换信号的高效无损重建。
• 消除输入信号必须为二进制尺寸的限制，支持任意 1D 和 2D 信号维度。
• 提供一个用户友好、独立的 MATLAB 工具包，附带教程和示例应用，用于信号与图像处理。
• 支持在行和列上使用不同小波基的灵活 2D NDWT，提升对各向异性信号的建模能力。

提出的方法

• 通过从小波滤波器系数显式构建的变换矩阵，直接使用矩阵乘法计算 NDWT，绕过卷积过程。
• 变换矩阵的构建方式使得每个元素直接由滤波器系数导出，避免了递归的卷积步骤。
• 引入权重矩阵，通过重新缩放 NDWT 矩阵的子矩阵，实现无损逆变换。
• 通过将 NDWT 矩阵的转置、权重矩阵和变换后信号相乘，实现逆变换，从而恢复原始信号。
• 该方法支持任意尺寸的 1D 和 2D NDWT，包括非二进制长度和矩形 2D 信号。
• 在 2D 情况下，该工具包允许对行和列变换分别使用不同的小波基，实现对各向异性信号的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过矩阵乘法替代卷积来减少 MATLAB 中 NDWT 计算的执行时间？
• RQ2 如何构建权重矩阵，以确保在冗余 NDWT 中实现无损信号重建？
• RQ3 NDWT 在多大程度上可以应用于非二进制尺寸的 1D 和 2D 信号，且不受尺寸限制？
• RQ4 基于矩阵的方法能否支持在行和列上使用不同小波基的灵活 2D NDWT？
• RQ5 与标准的基于卷积的 NDWT 实现相比，该方法在性能和准确性方面表现如何？

主要发现

• 与基于卷积的方法相比，基于矩阵的 NDWT 显著减少了计算时间，尤其在重复处理相同尺寸和小波的变换时效果更明显。
• 所提出的权重矩阵通过校正逆变换过程中的尺度不匹配，实现了无损重建。
• 该方法成功处理了任意尺寸的 1D 和 2D 信号，包括非二进制长度和矩形形状，而传统临界采样小波变换则无法做到这一点。
• 在 2D 情况下，对行和列变换使用不同的小波基，能够更有效地对空间上各向异性的信号进行建模。
• 该工具包支持硬阈值去噪，阈值设定为 √(2 log(m)) × σ̂，在多普勒信号示例中实现了有效的噪声抑制。
• 在 Lena 图像演示中，重建误差可忽略不计，证实了逆变换的准确性和稳定性。