[论文解读] Weak amenability of CAT(0) cubical groups

Nigel Higson, Erik Guentner|ArXiv.org|Feb 20, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文证明了任意在有限维CAT(0)立方复形上度量适当作用的离散群均为弱阿勉尼安的，且Cowling-Haagerup常数为1。作者构造了一个全纯的、一致有界的希尔伯特空间表示族，其矩阵系数形式为$ z^{\ell(g)} $，其中$ \ell $是群上的组合长度函数，从而通过Valette的准则确立了弱阿勉尼安性。

ABSTRACT

We prove that if G is a discrete group that admits a metrically proper action on a finite-dimensional CAT(0) cube complex X, then G is weakly amenable. We do this by constructing uniformly bounded Hilbert space representations for which the quantities z^{l(g)} are matrix coefficients. Here l is a length function on G obtained from the combinatorial distance function on the complex X.

研究动机与目标

• 建立在有限维CAT(0)立方复形上适当作用的群的弱阿勉尼安性。
• 为Cowling的猜想提供证据，即所有具有Haagerup性质的群均为弱阿勉尼安的且常数为1。
• 将已知弱阿勉尼安群的类扩展至此前已知的案例（如Coxeter群以及$SO(n,1)$和$SU(n,1)$中的格）之外。

提出的方法

• 在希尔伯特空间$ \mathcal{H} $上构造一个指标为单位开圆盘$ \mathbb{D} $的全纯一致有界表示族$ \pi_z $，使得当$ 0 < t < 1 $时，$ \pi_t $为酉表示。
• 利用CAT(0)立方复形$ X $中的组合距离，定义群$ G $上的长度函数$ \ell(g) $，并令$ \ell(e) = 0 $。
• 在$ \ell^2(X) $上使用余上同调构造来定义表示$ \pi_z $，借鉴Pimsner与Valette的方法以生成一致有界的表示。
• 证明矩阵系数$ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $对某个固定的向量$ \xi \in \mathcal{H} $成立，从而将群的几何结构与$ \mathbb{D} $上的全纯函数联系起来。
• 应用Valette定理，该定理将此类全纯族与Cowling-Haagerup常数为1的弱阿勉尼安性联系起来。
• 证明：分离顶点$ x $与$ y $且与给定超平面$ H $相交的超平面数量受$ (r+1)^d $控制，其中$ r $为$ x $到$ y $的距离，从而控制表示矩阵系数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有CAT(0)立方复形群是否均为弱阿勉尼安的且Cowling-Haagerup常数为1？
• RQ2 能否从CAT(0)立方复形的几何结构构造出一致有界的全纯表示族？
• RQ3 是否存在形式为$ z^{\ell(g)} $的矩阵系数是否可通过Valette准则推出弱阿勉尼安性？
• RQ4 立方复形的组合结构如何控制表示矩阵系数的增长？
• RQ5 CAT(0)立方复形群在阿勉尼安性质方面，与具有Haagerup性质的更广泛群类在多大程度上相似？

主要发现

• 任意在有限维CAT(0)立方复形上度量适当作用的离散群$ G $均为弱阿勉尼安的，且Cowling-Haagerup常数为1。
• 证明依赖于构造一个全纯一致有界表示族$ \pi_z $，使得$ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $，其中$ \ell(g) $为组合长度函数。
• 该构造利用了在$ \ell^2(X) $上的余上同调，其中$ X $为CAT(0)立方复形，通过Pimsner与Valette的方法来定义表示。
• 分离两个顶点$ x $与$ y $且与给定超平面$ H $相交的超平面数量受$ (r+1)^d $控制，其中$ r = d(x,y) $，$ d $为复形的维数。
• 该结果支持Cowling的猜想，即所有具有Haagerup性质的群均为弱阿勉尼安的且常数为1，将其扩展至CAT(0)立方复形群类。
• 该定理不适用于无限维CAT(0)立方复形，因此Thompson群$ F $等在该类复形上适当作用的群的弱阿勉尼安性仍为开放问题。