[论文解读] Weak amenability of Coxeter groups

Gero Fendler|ArXiv.org|Mar 6, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文通过在单位开圆盘上构造一族一致有界的酉表示的全纯族，建立了考克斯eter群的弱可乘性，该族表示扩展了当 $ 0 < r < 1 $ 时的正定函数 $ r^{{ mf l}(g)} $。这些表示的解析性与一致有界性意味着傅里叶代数中存在一个完全有界逼近单位元，其范数为一，从而证明考克斯eter群的考林格-霍格鲁普常数为一。

ABSTRACT

Let (G,S) be a Coxeter group. We construct a continuation, to the open unit disc, of the unitary representations associated to the positive definite functions g -&gt; r^l(g). (Here 0

研究动机与目标

• 通过调和分析与表示理论建立考克斯eter群的弱可乘性。
• 通过一致有界表示将正定函数 $ r^{{ mf l}(g)} $ 延拓至开单位圆盘。
• 证明所得表示族在傅里叶代数中产生一个完全有界逼近单位元，其范数为一。
• 证明任意考克斯eter群的考林格-霍格鲁普常数恰好为一。

提出的方法

• 通过 $ r^{\ell(g)} $ 关联表示的解析延拓，构造 $ L^2([0,2\pi], H_r) $ 上的直接积分表示 $ \tilde{\pi}_r $。
• 为长度为 $ n $ 的元素定义特征函数 $ \chi_n $，并通过表示范数与测试向量的 $ L^2 $-范数，有界其完全有界乘子范数。
• 使用 Pytlik–Szwarc 方法证明映射 $ z \mapsto z^{\ell(\cdot)} $ 从单位圆盘到 $ M_0A(G) $ 的解析性。
• 应用费杰核对全纯族 $ \varphi_z $ 进行平均，生成 $ A(G) $ 中一个完全有界乘子范数一致有界的逼近单位元。
• 利用 $ \varphi_r \to 1 $ 在 $ r \to 1 $ 时点态收敛，且对所有 $ r \in [0,1) $，$ \varphi_r $ 位于傅里叶-史蒂尔杰斯代数单位球面上的事实。
• 利用费杰平均的收敛性与 $ z \mapsto \varphi_z $ 的连续性，构造 $ A(G) $ 中一个网 $ \psi_{N,r} $，满足 $ \|\psi_{N,r}\|_{M_0A(G)} \leq 1 $，且在 $ A(G) $-范数下收敛于单位元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过全纯族的一致有界表示来建立考克斯eter群的弱可乘性？
• RQ2 映射 $ z \mapsto z^{\ell(g)} $ 是否能作为从单位圆盘到 $ A(G) $ 的完全有界乘子空间的映射，全纯延拓至开单位圆盘？
• RQ3 考克斯eter群的考林格-霍格鲁普常数是多少？能否证明其恰好为一？
• RQ4 特征函数 $ \chi_n $ 在 $ M_0A(G) $ 中的范数能否关于 $ n $ 一致有界，且与群无关？

主要发现

• 映射 $ z \mapsto z^{\ell(\cdot)} $ 在开单位圆盘上取值于 $ M_0A(G) $，其解析性由幂级数在 $ M_0A(G) $ 中的范数收敛性所证明。
• 函数 $ \chi_n $ 的完全有界算子范数被有界于 $ 2\pi e \left(1 + \frac{4\pi}{\kappa}n\right) $，其中 $ \kappa $ 仅依赖于考克斯eter系统 $ (G,S) $。
• 所构造的 $ A(G) $ 中的逼近单位元具有完全有界乘子范数，其上界为一，该结论通过全纯族的费杰求和方法得以证明。
• 当 $ r \to 1 $ 时，极限 $ \varphi_r \to 1 $ 在 $ G $ 上局部一致成立，满足弱可乘性的关键条件。
• 任意考克斯eter群的考林格-霍格鲁普常数恰好为一，因为所构造的逼近单位元达到了范数一。
• 该证明依赖于酉表示在复单位圆盘上的解析延拓，保持了一致有界性，且在实轴以外不依赖于酉性。