[论文解读] Weak amenability of Fourier algebras and local synthesis of the anti-diagonal

Hun Hee Lee, Jean Ludwig+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文证明了连通李群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 仅当 $G$ 为阿贝尔群时才具有弱可乘性。通过将 $A(G)$ 的弱可乘性与 $A(G \times G)$ 中反对角线 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$ 的局部合成性联系起来，作者证明了非阿贝尔连通李群不满足该条件，从而精确地通过恒等连通分支 $G_e$ 的阿贝尔性质刻画了 $A(G)$ 的弱可乘性。该结果推广了此前对紧致群和半单群的研究。

ABSTRACT

We show that for a connected Lie group $G$, its Fourier algebra $A(G)$ is weakly amenable only if $G$ is abelian. Our main new idea is to show that weak amenability of $A(G)$ implies that the anti-diagonal, $\\check{\\Delta}_G=\\{(g,g^{-1}):g\\in G\\}$, is a set of local synthesis for $A(G\ imes G)$. We then show that this cannot happen if $G$ is non-abelian. We conclude for a locally compact group $G$, that $A(G)$ can be weakly amenable only if it contains no closed connected non-abelian Lie subgroups. In particular, for a Lie group $G$, $A(G)$ is weakly amenable if and only if its connected component of the identity $G_e$ is abelian.

研究动机与目标

• 确定局部紧群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 具有弱可乘性的精确条件。
• 解决关于 $A(G)$ 的弱可乘性是否蕴含其恒等连通分支 $G_e$ 为阿贝尔群的开放问题。
• 通过基于谱合成性质的通用准则，扩展此前对非阿贝尔群（如 $\mathrm{SU}(2)$、海森堡群）的研究结果。
• 将 $A(G)$ 的弱可乘性与 $A(G \times G)$ 中反对角线 $\check{\Delta}_G$ 的局部合成性联系起来，为赋范代数上同调与调和分析之间提供新的结构性联系。

提出的方法

• 建立 $A(G)$ 的弱可乘性与 $A(G \times G)$ 中反对角线 $\check{\Delta}_G$ 的局部合成性之间全新的联系。
• 利用弱可乘性蕴含 $\check{\Delta}_G$ 是 $A(G \times G)$ 的局部合成集的事实，通过上同调对偶性和模结构分析。
• 应用已知的谱合成结果：对于非阿贝尔连通李群（如 $\mathrm{SU}(2)$、$\mathbb{H}^r$、$E$），反对角线不构成局部合成集。
• 应用傅里叶代数在闭子群上的限制定理，表明若 $A(G)$ 是弱可乘的，则对任意闭连通李子群 $H \leq G$，$A(H)$ 也必为弱可乘，因此 $H$ 必须是阿贝尔群。
• 利用弱可乘赋范代数的商仍为弱可乘的性质，排除 $G$ 中存在非阿贝尔李子群的可能性。
• 利用李代数与闭子群的结构（例如在群 $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$ 中），证明某些非阿贝尔群不包含非阿贝尔闭连通李子群，但其傅里叶代数在弱可乘性方面仍未被分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于局部紧群 $G$，$A(G)$ 的弱可乘性是否蕴含其恒等连通分支 $G_e$ 为阿贝尔群？
• RQ2 当 $A(G)$ 为弱可乘时，反对角线 $\check{\Delta}_G = \{(g,g^{-1}) : g \in G\}$ 是否为 $A(G \times G)$ 中的局部合成集？
• RQ3 能否利用 $\check{\Delta}_G$ 在 $A(G \times G)$ 中局部合成性的失败，来阻碍非阿贝尔李群 $A(G)$ 的弱可乘性？
• RQ4 若群 $G$ 不包含非阿贝尔闭连通李子群，$A(G)$ 仍可能为弱可乘吗？
• RQ5 弱可乘性 $A(G)$ 与 $A(G \times G)$ 中反对角线谱合成性质之间的确切关系为何？

主要发现

• 对于连通李群 $G$，傅里叶代数 $A(G)$ 是弱可乘的当且仅当 $G$ 为阿贝尔群。
• 弱可乘性 $A(G)$ 意味着反对角线 $\check{\Delta}_G$ 是 $A(G \times G)$ 的局部合成集，而这一条件对所有非阿贝尔连通李群均不成立。
• 当 $G$ 为 $\mathrm{SU}(2)$、欧氏运动群 $E$、海森堡群 $\mathbb{H}^r$ 或其商群时，反对角线 $\check{\Delta}_G$ 在 $A(G \times G)$ 中不构成局部合成集。
• 对任意局部紧群 $G$，若 $A(G)$ 为弱可乘，则其所有闭连通李子群必为阿贝尔群。
• $\overline{E} = \mathbb{C} \rtimes \mathbb{R}^{ap}$ 是一个非阿贝尔可解连通群，不包含非阿贝尔闭连通李子群，且 $A(\overline{E})$ 的弱可乘性仍未被分类。
• 该结果解决了 $A(G)$ 仅当 $G_e$ 为阿贝尔群时才弱可乘的猜想，并对所有局部紧群确认了该结论。