[论文解读] Weak and Strong Convergence of Algorithms for the Split Common Null Point Problem

Charles L. Byrne, Yair Censor+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 37被引用 111

一句话总结

本文在希尔伯特空间中引入了集值极大单调映射的分裂公共零点问题（SCNPP），推广了分裂变分不等式问题。提出了三种迭代算法，在适当条件下实现了对解的弱收敛与强收敛，扩展了带线性变换的单调包含问题的收敛性理论。

ABSTRACT

We introduce and study the Split Common Null Point Problem (SCNPP) for set-valued maximal monotone mappings in Hilbert space. This problem generalizes our Split Variational Inequality Problem (SVIP) [Y. Censor, A. Gibali and S. Reich, Algorithms for the split variational inequality problem, Numerical Algorithms, accepted for publication, DOI 10.1007/s11075-011-9490-5]. The SCNPP with only two set-valued mappings entails finding a zero of a maximal monotone mapping in one space, the image of which under a given bounded linear transformation is a zero of another maximal monotone mapping. We present three iterative algorithms that solve such problems in Hilbert

研究动机与目标

• 通过在希尔伯特空间中引入集值极大单调映射的分裂公共零点问题（SCNPP），推广分裂变分不等式问题（SVIP）。
• 解决在第一个希尔伯特空间中寻找一个极大单调映射的零点的问题，其在有界线性算子作用下的像为另一个不同空间中极大单调映射的零点。
• 设计迭代算法，确保在希尔伯特空间中收敛到SCNPP的解。
• 在适当条件下，建立所提算法的弱收敛与强收敛结果。

提出的方法

• 将SCNPP表述为涉及两个极大单调映射及两个希尔伯特空间之间有界线性算子的单调包含问题。
• 基于Krasnoselskii-Mann迭代和集值算子的前向-后向分裂法，提出三种迭代算法。
• 在算法步骤中整合与极大单调映射相关的预解算子，以处理包含条件。
• 在迭代格式中引入松弛参数，以改善收敛行为与稳定性。
• 利用有界线性算子将第一个单调包含问题的解空间映射到第二个空间，确保与分裂结构的一致性。
• 通过非扩张映射的性质以及算法生成序列的半收敛性，建立收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂变分不等式问题能否推广至包含希尔伯特空间中的集值极大单调映射？
• RQ2 可设计何种迭代算法来求解由此产生的分裂公共零点问题？
• RQ3 在何种条件下，这些算法能实现对解的弱收敛或强收敛？
• RQ4 有界线性算子的引入如何影响迭代格式的收敛行为？
• RQ5 所提出的算法能否扩展以处理多个或更复杂的单调包含结构？

主要发现

• 在对极大单调映射和有界线性算子的标准假设下，所提算法可实现对SCNPP解的弱收敛。
• 在附加条件下（如存在有界序列或使用特定松弛参数），可建立强收敛性。
• 算法通过将现有分裂变分不等式问题方法推广至集值算子，实现了广义化。
• 收敛结果在希尔伯特空间中成立，确保其适用于一大类单调包含问题。
• 利用预解算子与前向-后向分裂框架，有效处理了极大单调映射的集值特性。
• 理论框架为求解具有空间间线性耦合的复杂单调可行性问题提供了基础。