[论文解读] Weak and strong error analysis for mean-field rank based particle approximations of one dimensional viscous scalar conservation law

Oumaima Bencheikh, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文建立了用于近似一维粘性标量守恒律（具有不连续漂移系数）的均场秩基粒子系统最优收敛速率。通过分析具有秩基相互作用的粒子系统的欧拉时间离散化，作者证明了在 $L^1$-范数下弱误差界为 $O(1/N + h)$，并通过最优粒子初始化与时间步长控制的数值模拟验证了理论估计。

ABSTRACT

In this paper, we analyse the rate of convergence of a system of $N$ interacting particles with mean-field rank based interaction in the drift coefficient and constant diffusion coefficient. We first adapt arguments by Kolli and Shkolnikhov to check trajectorial propagation of chaos with optimal rate $N^{-1/2}$ to the associated stochastic differential equations nonlinear in the sense of McKean. We next relax the assumptions needed by Bossy to check convergence in $L^1(\mathbb{R})$ with rate ${\mathcal O}(\frac{1}{\sqrt N} + h)$ of the empirical cumulative distribution function of the Euler discretization with step $h$ of the particle system to the solution of a one dimensional viscous scalar conservation law. Last, we prove that the bias of this stochastic particle method behaves in ${\mathcal O}(\frac{1}{N} + h)$. We provide numerical results which confirm our theoretical estimates.

研究动机与目标

• 分析用于近似一维粘性标量守恒律解的均场秩基粒子系统的收敛速率。
• 将现有弱误差结果扩展至具有不连续漂移系数的系统，特别是通过秩基相互作用依赖于累积分布函数的系统。
• 建立欧拉离散化粒子系统的偏差行为为 $O(1/N + h)$，其中 $N$ 为粒子数，$h$ 为时间步长。
• 通过数值方法验证理论误差界，表明误差对粒子数呈现 $O(1/N)$ 依赖，对时间步长呈现 $O(h)$ 依赖。

提出的方法

• 借鉴 Kolli 与 Shkolnikhov 的论证，证明具有秩基相互作用的麦凯恩型 SDE 在速率 $N^{-1/2}$ 下实现路径上的混沌传播。
• 放宽 Bossy (2000) 的假设，证明欧拉离散化粒子系统的经验累积分布函数在 $L^1$-范数下以速率 $O(1/√{N} + h)$ 收敛于粘性守恒律的解。
• 在可积性条件下，利用随机 Fubini 定理交换随机积分与勒贝格积分的顺序。
• 应用 Girsanov 定理，证明解的分布存在密度，从而将 SDE 与福克-普朗克方程联系起来。
• 推导热核 $G_t(x)$ 的空间导数估计，以控制弱误差分析中的误差项。
• 通过独立同分布与最优确定性初始配置的数值实验，验证理论误差速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉离散化均场秩基粒子系统在近似具有不连续漂移系数的粘性标量守恒律时，其弱误差速率为何？
• RQ2 对于光滑漂移系数已知的 $O(1/N + h)$ 弱误差界，是否可推广至具有不连续秩基漂移的系统？
• RQ3 初始粒子构型的选择（独立同分布 vs. 确定性最优）如何影响收敛速率？
• RQ4 弱 $L^1$-误差在 $N$ 与 $h$ 下的数值行为如何？是否与理论预测一致？

主要发现

• 欧拉离散化粒子系统的经验测度与粘性守恒律真实解之间在 $L^1$-范数下的弱误差被控制在 $O(1/N + h)$ 以内，确认了理论收敛速率。
• 数值结果表明，当 $h$ 固定时，弱 $L^1$-误差与 $N^{-1}$ 成比例下降，粒子数加倍时误差减少约两倍。
• 当 $N$ 固定时，弱 $L^1$-误差与 $h$ 成比例下降，时间步长减半时误差减少约两倍，验证了 $O(h)$ 依赖性。
• 误差行为在不同扩散系数下保持稳健：$O(1/N + h)$ 在 $σ^2 = 0.05$、$0.2$ 和 $20$ 下均成立，但较大的 $σ^2$ 需要更多粒子以分离出 $h$-依赖性。
• 当 $σ^2 = 0.2$ 时，$N = 100$ 时弱 $L^1$-误差约为 $0.01018$，在 $N = 3200$ 时降至 $0.000383$，与 $N^{-1}$ 缩放一致。
• 当 $h$ 从 $1/2$ 减小至 $1/256$ 时，弱 $L^1$-误差从 $0.0795$ 降至 $0.000483$，减少比例稳定接近 2，证实了 $O(h)$ 行为。