[论文解读] Weak Bruhat order on the set of faces of the permutahedra

Patricia Palacios, Marı́a Ronco|ArXiv.org|Apr 20, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文将弱Bruhat序从Coxeter群推广至其抛物子群的右陪集集合，定义了对称多面体面的新偏序关系。该序关系在平面有根树张成的向量空间上诱导出一个Dendriform三重代数结构，通过弱Bruhat序与广义shuffle操作，实现了自由Dendriform三重代数的组合实现。

ABSTRACT

We extend the weak Bruhat order of a finite Coxeter group to the set of its coclasses, modulo parabolic standard subgroups. We use this order to describe associative algebra structures on the vector spaces spanned by the faces of permutahedra on one side, and on the vector space spanned by the planar rooted trees, on the other one.

研究动机与目标

• 将Coxeter群W上的弱Bruhat序从群本身推广至其抛物子群的右陪集集合，形成对称多面体面的新偏序关系。
• 利用广义弱Bruhat序，在这些陪集张成的向量空间上定义Dendriform三重代数结构。
• 建立从陪集偏序集到具有n+1片叶子的平面有根树集合的满射，诱导出树上的偏序关系，该关系支持自由Dendriform三重代数结构。
• 证明该在平面有根树上诱导出的结构与文献中先前定义的自由Dendriform三重代数结构一致。
• 证明陪集代数与树代数中的结合积均可通过弱Bruhat序与广义shuffle导出的三个运算来描述。

提出的方法

• 通过长度可加分解，将Coxeter群W上的弱Bruhat序扩展至右陪集集合WJ∘w，定义偏序≤B。
• 将每个陪集在Pn中表示为从{1,…,n}到{1,…,r}的满射，从而实现对偏序结构的组合描述。
• 引入广义shuffle集合SH(n0,…,nr)以建模偏序集Pn的结构，并定义Dendriform三重代数的三个运算（succ, ·, prec, *）。
• 构造从陪集偏序集Pn到具有n+1片叶子的平面有根树集合Tn的典范满射Γ，保持序结构。
• 利用Tn上的诱导序，通过树分解中的弱Bruhat序条件，在k[T∞]上定义结合积。
• 证明k[T∞]上得到的代数结构与先前工作中定义的自由Dendriform三重代数结构一致，通过递归验证序关系与积公式完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Coxeter群W上的弱Bruhat序推广至其抛物子群的右陪集集合？
• RQ2 在该陪集张成的向量空间上，基于扩展序关系会涌现出何种代数结构？
• RQ3 在平面有根树上诱导出的序关系与陪集偏序集上的弱Bruhat序有何关联？
• RQ4 能否显式地通过弱Bruhat序描述自由Dendriform三重代数在平面有根树上的结合积？
• RQ5 在平面有根树上得到的Dendriform三重代数结构是否同构于通过其他组合构造先前定义的结构？

主要发现

• 在右陪集集合WJ∘w上扩展的弱Bruhat序形成一个偏序，该序推广了W上的标准弱序。
• 由Pn张成的向量空间k[P∞]继承了一个Dendriform三重代数结构，其三个运算由弱Bruhat序与广义shuffle导出。
• 满射Γ: Pn → Tn将Pn上的扩展弱Bruhat序映射为具有n+1片叶子的平面有根树集合Tn上的偏序。
• Tn上诱导的序关系允许在k[T∞]上构造一个自由Dendriform三重代数结构，该结构与[LR3]和[LR4]中定义的结构一致。
• k[T∞]中的结合积可显式表示为弱Bruhat序区间上的和：t≺z = ∑w 满足 ⋁(t⁰,…,tᵏ⁻¹,tᵏ/z) ≤B w ≤B tackslash z。
• 本文确认，由相邻对换保持逆像中序关系所定义的序≤C在Pn上诱导出一个与Tn上兼容的序，该序支持与Chapoton所定义的代数结构相同的代数结构。