[论文解读] Weak Coloring Numbers of Intersection Graphs

Dvo\v{r}\'ak, Zden\v{e}k, Jakub Pekárek+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

该论文为 R^d 中几何对象（包括球体、超立方体及可比较的轴对齐长方体）的交集图的第 k 个弱着色数建立了紧致的上下界。结果表明，尽管强着色数随 k 呈多项式增长，但弱着色数可能呈指数增长，揭示了在某些几何图类中，特别是高维情况下，这两种概念在复杂性上的根本差异。

ABSTRACT

Weak and strong coloring numbers are generalizations of the degeneracy of a graph, where for each natural number $k$, we seek a vertex ordering such every vertex can (weakly respectively strongly) reach in $k$ steps only few vertices with lower index in the ordering. Both notions capture the sparsity of a graph or a graph class, and have interesting applications in the structural and algorithmic graph theory. Recently, the first author together with McCarty and Norin observed a natural volume-based upper bound for the strong coloring numbers of intersection graphs of well-behaved objects in $\mathbb{R}^d$, such as homothets of a centrally symmetric compact convex object, or comparable axis-aligned boxes. In this paper, we prove upper and lower bounds for the $k$-th weak coloring numbers of these classes of intersection graphs. As a consequence, we describe a natural graph class whose strong coloring numbers are polynomial in $k$, but the weak coloring numbers are exponential. We also observe a surprising difference in terms of the dependence of the weak coloring numbers on the dimension between touching graphs of balls (single-exponential) and hypercubes (double-exponential).

研究动机与目标

• 理解 R^d 中几何对象交集图的弱着色数的渐近行为。
• 识别导致弱着色数相比强着色数呈指数增长的结构与维度因素。
• 为交集图类（包括球体和超立方体的接触图）建立弱着色数的紧致上下界。
• 阐明维度与纤细性（t-thin）在决定弱着色数增长速率中的作用。
• 探讨这些边界对有界扩张图类与无处稠密图类的含义。

提出的方法

• 基于物体直径的大小顺序顶点排序，以控制交集图中弱着色数与强着色数的上界。
• 应用基于体积的论证与几何缩放（例如，对缩放物体或半径为 (m+1)diam(v) 的球体使用 Bm(v)）来控制 k 步内的可达性。
• 通过构造显式图族（如 m-缩小的区间、矩形或正方形序列）并利用引理 11，将顶点数量与大小顺序下的弱着色数关联起来。
• 利用脚手架构造（引理 9）与 AH 变换，将区间图或矩形图提升为更高维的交集图，同时保持着色数的下界。
• 应用引理 14 与推论 15，实现以维度换取色数，将交集图转化为高维中超立方体的接触图。
• 利用区间图是完美图且可正常着色的性质，以控制团数并支持下界构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 R^d 中 t-thin 的 d 维球体集合的交集图，第 k 个弱着色数的渐近增长速率是什么？
• RQ2 在 R^d 中超立方体的交集图中，弱着色数与强着色数在 k 增长时有何差异？
• RQ3 对于轴对齐长方体或球体的交集图，弱着色数对维度 d 的依赖关系如何？
• RQ4 即使强着色数呈多项式增长，弱着色数是否仍可能随 k 呈指数增长？
• RQ5 图的色数与其能否表示为高维中超立方体的接触图之间有何关系？

主要发现

• 在 R^d 中，t-thin 的可比较轴对齐长方体集合的交集图的第 k 个弱着色数上界为 t(2k+1)^d。
• 在 R^d 中，b-球体类对象的交集图的第 k 个弱着色数上界为 bt(2k+2)^d。
• 对于 R^1 中 t-thin 的区间交集图，在大小顺序下第 k 个弱着色数的增长为 Ω(k^t / t!)。
• 在 R^d 中，单位球体接触图的第 k 个弱着色数增长为 Ω(k^{d/2})，而强着色数增长为 O(k^{d-1})。
• 在 R^d 中，超立方体交集图的第 k 个弱着色数可增长至 Ω(2^k)（当 d ≥ 2 时），而强着色数增长为 O(k^d)。
• 根据推论 15，任何色数不超过 2^c 且可表示为 R^d 中超立方体交集图的图，均可表示为 R^{d+c} 中超立方体的接触图。