[论文解读] Weak compactness of sublevel sets in complete locally convex spaces

Pedro Pérez-Aros, Lionel Thibaul|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过证明：若对所有 $ x^* \in U $，其中 $ U \subseteq X^* $ 是 Mackey 拓扑下的开集且 $ U \neq \emptyset $，函数 $ f - x^* $ 达到其最小值，则对所有 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 和 $ x^* \in U $，集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 是相对弱紧的，从而在完备局部凸空间中建立了凸函数次水平集的弱紧性准则。该结果将 James 型紧性定理推广至 Banach 空间之外，并通过共轭分析将 epi-点函数与下确界紧性联系起来。

ABSTRACT

In this work we prove that if $X$ is a complete locally convex space and $f:X o \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ is a function such that $f-x^\ast$ attains its minimum for every $x^\ast \in U$, where $U$ is an open set with respect to the Mackey topology in $X^\ast$, then for every $γ\in \mathbb{R}$ and $x^\ast \in U$ the set $\{ x\in X : f(x)- \langle x^\ast , x angle \leq γ\}$ is relatively weakly compact. This result corresponds to an extension of Theorem 2.4 in [J. Saint Raymond, Mediterr. J. Math. 10 (2013), no. 2, 927--940]. Directional James compactness theorems are also derived.

研究动机与目标

• 将定理 1.2（Banach 空间中的 James 型弱紧性）推广至完备局部凸空间。
• 在 $ X^* $ 的 Mackey 拓扑下，通过 $ f - x^* $ 在开集 $ U \subseteq X^* $ 上达到最小值的条件，刻画子水平集 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 的弱紧性。
• 阐明 epi-点函数与变分性质之间的联系：即对所有 $ x^* \in U $，$ f - x^* $ 达到其最小值，其中 $ U $ 是 Mackey 拓扑下的开集。
• 利用凸分析与下卷积技术，推导完备局部凸空间中集合的方向性 James 紧性定理。

提出的方法

• 使用 Moreau-Rockafellar 次微分及其逆，将 $ f - x^* $ 的极小化点与 $ \partial f^*(x^*) $ 中的元素联系起来。
• 应用 Mackey 拓扑 $ \tau(X^*, X) $，定义 $ X^* $ 中的开集 $ U \subseteq X^* $，使得假设 $ f - x^* $ 在该集合上达到最小值。
• 采用下卷积与共轭函数分析子水平集的结构及其弱紧性。
• 利用 $ f^* $ 在 Mackey 拓扑下于 $ U $ 上有限且连续的事实，推导出子水平集的弱紧性。
• 利用方向渐近锥与极集刻画弱紧性，从对偶空间的几何角度出发。
• 基于 Moors 对定理 1.2 的简短证明，通过凸对偶与拓扑工具，将其适配至局部凸空间设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备局部凸空间 $ X $ 上，对于适当的下半连续凸函数 $ f $，在什么条件下，对所有 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 和 $ x^* \in U $，集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 是相对弱紧的，其中 $ U \subseteq X^* $ 是 $ X^* $ 上 Mackey 拓扑下的开集？
• RQ2 假设 $ f - x^* $ 对所有 $ x^* \in U $ 达到最小值，其中 $ U $ 是 Mackey 拓扑下的开集，该条件如何与子水平集的弱紧性相关？
• RQ3 epi-点函数与变分性质（即 $ f - x^* $ 在 Mackey 拓扑下的开集上达到最小值）之间的确切关系是什么？
• RQ4 能否利用凸分析方法，从完备局部凸空间中的集合推导出方向性 James 紧性定理？
• RQ5 Mackey 拓扑在确保子水平集弱紧性方面起什么作用？它如何推广 Banach 空间情形？

主要发现

• 若对所有 $ x^* \in U $，其中 $ U \subseteq X^* $ 是 Mackey 拓扑下的开集，$ f - x^* $ 达到其最小值，则对所有 $ \gamma \in \mathbb{R} $ 和 $ x^* \in U $，子水平集 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ 是相对弱紧的。
• 该结果通过将共轭函数的 Mackey 拓扑连续性替代原 Banach 空间中基于范数的假设，将定理 1.2（Moors 版本的 James 定理）从 Banach 空间推广至完备局部凸空间。
• epi-点函数类与满足 $ f^* $ 在某个开集 $ U \subseteq X^* $ 上 Mackey 连续的函数类一致，且该条件等价于对所有 $ x^* \in U $，$ f - x^* $ 是弱下确界紧的。
• 即使 $ f $ 不有下界，或 $ \textnormal{dom} f^* \neq X^* $，只要在 Mackey 拓扑下的开集上满足最小值达到条件，子水平集 $ \textnormal{lev}_{f - x^*}^{\leq}(\gamma) $ 仍是相对弱紧的。
• 非自反 Banach 空间上范数函数的例子表明，条件 $ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $ 是必要的，因为 $ f - x^* $ 可能在处处达到最小值，但子水平集仍不弱紧。
• 完备局部凸空间 $ X $ 是半自反的，当且仅当对每个有界、对称、凸集 $ B \subseteq X $，都有 $ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $，这将有界集的弱紧性与 $ f - x^* $ 在某方向集上达到最小值的非空性联系起来。