[论文解读] Weak convergence analysis of the symmetrized Euler scheme for one dimensional SDEs with diffusion coefficient |x|^a, a in [1/2,1)

Mireille Bossy, Awa Diop|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对一维SDEs的对称化欧拉格式，其扩散系数为|x|^α，α ∈ [1/2, 1)，确保解的正性，并实现了弱收敛阶为一的收敛性。通过在原点处对欧拉格式进行对称化，该方法保持了解的非负性，并建立了柯尔莫哥洛夫PDE解的空间导数的上界，从而实现了具有最优收敛率的严格弱误差分析。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the time discrete approximation of Ef(X(T)) when X is the solution of a stochastic differential equation with a diffusion coefficient function of the form |x|^a. We propose a symmetrized version of the Euler scheme, applied to X. The symmetrized version is very easy to simulate on a computer. For smooth functions f, we prove the Feynman Kac representation u(t,x) = E_{t,x} f(X(T)), for u(t,x) solving the associated Kolmogorov PDE and we obtain the upper-bounds on the spatial derivatives of u up to the order four. Then we show that the weak error of our symmetrized scheme is of order one, as for the classical Euler scheme.

研究动机与目标

• 为扩散系数为|x|^α（α ∈ [1/2,1)）的SDEs设计一种数值稳定且保持正性的离散化格式，其中标准欧拉格式因局部Lipschitz性不足和符号问题而失效。
• 分析所提出的对称化欧拉格式的弱收敛速率，证明其尽管在零点存在奇点，仍能达到一阶弱收敛，与经典欧拉格式一致。
• 建立关联柯尔莫哥洛夫PDE解的空间导数（最高至四阶）的上界，从而通过Feynman-Kac表示法实现误差分析。
• 将分析扩展至α = 1/2和1/2 < α < 1两种情形，分别提供各自的收敛结果。
• 确保近似过程保持非负，以模拟金融领域中CIR和SABR型模型以及湍流建模中的行为特征。

提出的方法

• 提出一种对称化欧拉格式，通过在原点处反射欧拉增量，以保持解过程的非负性。
• 应用Feynman-Kac公式，将解u(t,x) = E[f(X_T)]表示为与柯尔莫哥洛夫PDE相关的期望形式。
• 利用Girsanov型测度变换，推导出u的空间导数（最高至四阶）的随机表示层次结构。
• 使用一系列概率测度Q^(1,3/2), Q^(1,2)等，通过时间变换过程将高阶导数表示为期望形式。
• 引入时间变换过程X^x(s)，其中s = 3/2, 2等，将高阶导数表示为原始测度下的期望。
• 通过证明在原始测度和变换测度下过程J^x_t及其矩的存在性，建立解u及其导数的存在性与光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于扩散系数为|x|^α（α ∈ [1/2,1)）的SDEs，尽管在零点存在奇点，对称化欧拉格式是否仍能实现一阶弱收敛？
• RQ2 如何对柯尔莫哥洛夫PDE的解及其空间导数进行随机表示，以支持误差分析？
• RQ3 对称化策略对保持正性及在局部Lipschitz扩散系数下确保数值稳定性有何影响？
• RQ4 能否推导出柯尔莫哥洛夫PDE解的四阶空间导数的上界，以支持弱收敛性分析？
• RQ5 与经典欧拉格式相比，对称化格式的弱误差在收敛速率和数值稳定性方面表现如何？

主要发现

• 对称化欧拉格式在扩散系数为|x|^α（α ∈ [1/2,1)）的SDEs中实现了弱收敛阶为一，尽管扩散系数非Lipschitz，其收敛性能与经典欧拉格式一致。
• 柯尔莫哥洛夫PDE解u(t,x) = E[f(X_T)]具有Feynman-Kac表示，从而可对最高至四阶的空间导数进行随机表示。
• 建立了对u的四阶空间导数的上界，这对控制分析中的弱误差至关重要。
• 通过使用时间变换过程和Girsanov型测度，实现了高阶导数的递归随机表示，从而促进了误差分析。
• 对称化策略成功保持了近似过程的非负性，这对建模利率和湍流流动至关重要。
• 分析分为两种情形：α = 1/2和1/2 < α < 1，对每种情形分别证明了收敛结果，确保了在整个参数范围内的鲁棒性。