[论文解读] Weak Convergence (IA). Sequences of Random Vectors

Gane Samb Lô, Modou Ngom+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Probability and Risk Models参考文献 5被引用 17

一句话总结

本专著对 $ℝ^k$ 中随机向量序列的弱收敛提供了自包含且严格的处理，涵盖度量空间中的基础结果及在渐近统计中的应用。它建立了关键工具，如 Portmanteau 定理、连续映射定理和函数型经验过程，并证明了分布收敛与特征函数收敛的等价性，重点聚焦于多变量中心极限定理及极值理论的应用。

ABSTRACT

(English) This monograph aims at presenting the core weak convergence theory for sequences of random vectors with values in $\mathbb{R}^k$. In some places, a more general formulation in metric spaces is provided. It lays out the necessary foundation that paves the way to applications in particular subfields of the theory. In particular, the needs of Asymptotic Statistics are addressed. A whole chapter is devoted to weak convergence in $\mathbb{R}$ where specific tools, for example for handling weak convergence of sequences using independent and indentically distributed random variables such that the Renyi's representations by means of standard uniform or exponential random variables, are stated. The function empirical process is presented as a powerful tool for solving a considerable number of asymptotic problems in Statistics. The text is written in a self-contained approach whith the proofs of all used results at the exception of the general Skorohod-Wichura Theorem.

研究动机与目标

• 为 $ℝ^k$ 中随机向量序列的弱收敛及其在一般度量空间中的情形建立严谨且自包含的基础。
• 解决渐近统计中的核心需求，特别是多变量极限定理与经验过程理论。
• 提供通过特征函数、分布函数及紧性准则处理收敛性的工具。
• 将函数型经验过程呈现为统一工具，用于解决统计中的渐近问题。
• 证明分布收敛与特征函数收敛的等价性，并应用于多变量中心极限定理与极值理论。

提出的方法

• 以 Portmanteau 定理为核心，表征弱收敛，将分布收敛与连续集上概率的收敛联系起来。
• 应用连续映射定理，推导在弱收敛下随机向量函数的收敛性。
• 利用特征函数作为证明收敛性的关键工具，借助 Lévy 连续性定理。
• 引入函数型经验过程，作为分析经验过程中弱收敛的有力工具。
• 应用 Skorohod-Wichura 定理（未给出证明）构造几乎必然收敛的随机向量版本，从而支持收敛性证明。
• 利用紧性与相对紧性准则，在 $ℝ^k$ 中建立弱收敛，特别适用于多项式与经验分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ℝ^k$-值随机向量序列弱收敛的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何利用特征函数表征弱收敛？Lévy 连续性定理在此中起什么作用？
• RQ3 函数型经验过程在统计模型渐近行为分析中发挥何种作用？
• RQ4 多变量 delta 方法与多项式分布的弱收敛如何促进渐近推断？
• RQ5 何种条件可确保实值随机变量序列存在极限？这与所有有理区间上的上穿次数有限性及柯西序列有何关联？

主要发现

• 根据 Lévy 连续性定理，$ℝ^k$ 中的弱收敛等价于特征函数的收敛。
• 函数型经验过程被证明是推导渐近统计中弱收敛结果的有力工具，尤其适用于经验分布。
• 连续映射定理确保弱收敛在连续变换下保持不变，从而保证随机向量泛函的收敛性。
• 在 $ℝ^k$ 中，紧性与相对紧性是弱收敛的充分条件，适用于多项式与经验分布。
• 通过反证法及上极限/下极限分析，建立了序列存在有限极限与所有有理区间上上穿次数有限之间的等价性。
• 在 $ℝ$ 中，柯西序列收敛当且仅当其项间差趋于零，这蕴含有限极限的存在性。