[论文解读] Weak Convergence (IIA) - Functional and Random Aspects of the Univariate Extreme Value Theory

Gane Samb Lô, Modou Ngom+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 1被引用 5

一句话总结

本专著在弱收敛框架下对单变量极值理论提供了全面的论述，重点聚焦于函数和概率方面。它运用正规变体和$π$-变体理论建立了基础性结果，推导了独立同分布序列极值的类型收敛性，并在广义极值分布和统计估计方面提出了新颖贡献，为实直线上的极值理论研究生学习提供了一套统一且近乎完整的课程体系。

ABSTRACT

The univariate extreme value theory deals with the convergence in type of powers of elements of sequences of cumulative distribution functions on the real line when the power index gets infinite. In terms of convergence of random variables, this amounts to the the weak convergence, in the sense of probability measures weak convergence, of the partial maximas of a sequence of independent and identically distributed random variables. In this monograph, this theory is comprehensively studied in the broad frame of weak convergence of random vectors as exposed in Lo et al.(2016). It has two main parts. The first is devoted to its nice mathematical foundation. Most of the materials of this part is taken from the most essential Loève(1936,177) and Haan (1970), based on the stunning theory of regular, pi or gamma variation. To prepare the statistical applications, a number contributions I made in my PhD and my Doctorate of Sciences are added in the last chapter of the last chapter of that part. Our real concern is to put these materials together with others, among them those of the authors from his PhD dissertations and Science doctorate thesis, in a way to have an almost full coverage of the theory on the real line that may serve as a master course of one semester in our universities. As well, it will help the second part of the monograph. This second part will deal with statistical estimations problems related to extreme values. It addresses various estimation questions and should be considered as the beginning of a survey study to be updated progressively. Research questions are tackled therein. Many results of the author, either unpublished or not sufficiently known, are stated and/or updated therein.

研究动机与目标

• 通过弱收敛和泛函分析，为单变量极值理论建立严格的数学基础。
• 统一并拓展Loève (1936) 和 Haan (1970) 在正规变体和$π$-变体方面关于极值分布的关键结果。
• 为极值分析中的统计估计问题奠定理论基础。
• 将作者博士及科学博士研究中的原始成果系统整理并更新为连贯、可直接用于教学的教材。
• 启动对极值理论中统计估计的渐进调查，包括被低估或未发表的结果。

提出的方法

• 应用Lo等 (2016) 所形式化的随机向量弱收敛理论，以建模部分极大值的收敛性。
• 运用正规变体和$π$-变体（或伽马-变体）来刻画归一化极大值的极限分布。
• 通过在可测函数上应用函数方程——特别是Hamel型方程——推导出线性和幂律行为。
• 将广义极值（GEV）分布用作独立同分布序列归一化极大值的通用极限。
• 通过刻画满足$ h(st) = h(s)h(t) $ 或 $ h(st) = h(s) + h(t) $ 的函数，推导出类型收敛性，从而导出幂函数形式。
• 使用三角不等式如$ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $ 来控制弱收敛证明中的特征函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，独立同分布序列的归一化部分极大值弱收敛于三类非退化极值分布之一？
• RQ2 正规变体和$\pi$-变体如何刻画极值理论中分布函数的极限行为？
• RQ3 何种函数方程控制在幂变换下保持类型收敛的函数结构？
• RQ4 该理论框架如何扩展以支持极值分析中的统计估计问题？
• RQ5 作者博士研究中哪些新颖或被低估的理论成果可系统性地整合进统一的极值理论课程中？

主要发现

• 广义极值（GEV）分布是在弱收敛下，独立同分布序列归一化极大值的通用极限。
• 满足$ h(st) = h(s)h(t) $ 且可测的函数必有$ h(t) = t^{\log k(e)} $，从而确立了极值极限所必需的幂律行为。
• 对于满足$ \ell(st) = \ell(s) + \ell(t) $ 的可测函数，其解为$ \ell(t) = \ell(e) \log t $，从而建立起乘法结构与加法结构之间的联系。
• 在单调性和局部有界性条件下，Hamel方程的证明表明$ h(x) = h(1)x $，在较弱条件下确认了线性性。
• 建立了不等式$ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $（其中$ \delta \in (0,1] $），并用于控制弱收敛论证中的特征函数。
• 在无穷大幂指数下，分布函数的类型收敛性等价于其对应极大值在分布上的弱收敛性。