[论文解读] Weak convergence of a fully discrete approximation of a linear stochastic evolution equation with a positive-type memory term

Mihály Kovács, Jacques Printems|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文研究了针对具有正类型记忆核的线性随机伏尔泰拉方程，采用完全离散的有限元与卷积时间积分数值格式，建立了弱收敛速率。证明了弱误差被界于 $ C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $，该速率在相同噪声正则性下，本质上是强收敛速率的两倍，证实了在记忆影响的随机PDE中具有有利的弱收敛阶行为。

ABSTRACT

In this paper we are interested in the numerical approximation of the marginal distributions of the Hilbert space valued solution of a stochastic Volterra equation driven by an additive Gaussian noise. This equation can be written in the abstract Itô form as $$ \dd X(t) + \left (\int_0^t b(t-s) A X(s) \, \dd s ight) \, \dd t = \dd W^{_Q}(t), t\in (0,T]; ~ X(0) =X_0\in H, $$ oindent where $W^Q$ is a $Q$-Wiener process on the Hilbert space $H$ and where the time kernel $b$ is the locally integrable potential $t^{ρ-2}$, $ρ\in (1,2)$, or slightly more general. The operator $A$ is unbounded, linear, self-adjoint, and positive on $H$. Our main assumption concerning the noise term is that $A^{(ν- 1/ρ)/2} Q^{1/2}$ is a Hilbert-Schmidt operator on $H$ for some $ν\in [0,1/ρ]$. The numerical approximation is achieved via a standard continuous finite element method in space (parameter $h$) and an implicit Euler scheme and a Laplace convolution quadrature in time (parameter $Δt=T/N$). %Let $X_h^N$ be the discrete solution at time $T$. Eventually let $φ: H ightarrow \R$ is such that $D^2φ$ is bounded on $H$ but not necessarily bounded and suppose in addition that either its first derivative is bounded on $H$ and $X_0 \in L^1(Ω)$ or $φ= \| \cdot \|^2$ and $X_0 \in L^2(Ω)$. We show that for $φ: H ightarrow \R$ twice continuously differentiable test function with bounded second derivative, $$ | \E φ(X^N_h) - \E φ(X(T)) | \leq C \ln \left(\frac{T}{h^{2/ρ} + Δt} ight) (Δt^{ρν} + h^{2ν}), $$ oindent for any $0\leq ν\leq 1/ρ$. This is essentially twice the rate of strong convergence under the same regularity assumption on the noise.

研究动机与目标

• 分析具有正类型记忆项的线性随机演化方程的完全离散数值格式的弱收敛性。
• 建立解的二阶连续可微泛函期望的收敛速率。
• 将已知的抛物型与双曲型SPDE的弱收敛结果推广至具有弱奇异记忆核的方程。
• 在噪声正则性假设下，量化收敛性对空间离散参数（h）与时间离散参数（Δt）的依赖关系。
• 在非马氏记忆背景下，为卷积时间积分法与有限元方法的应用提供理论依据。

提出的方法

• 采用空间网格尺寸为 h 的连续有限元方法进行空间半离散化。
• 时间方向采用基于拉普拉斯变换的卷积时间积分法与隐式欧拉格式相结合，时间步长为 Δt。
• 通过涉及离散拉普拉斯算子 $ A_h $ 与正交投影 $ P_h $ 的半离散系统构造数值解。
• 利用算子理论工具（包括希尔伯特空间中的预解算子与演化算子有界性）对格式进行分析。
• 关键技术工具是通过对偶表示与迹类估计，将误差分解为时间与空间分量。
• 分析依赖于假设 $ A^{(\nu-1/\rho)/2}Q^{1/2} $ 为希尔伯特-施密特算子，从而将噪声正则性与收敛速率关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有正类型记忆核的随机伏尔泰拉方程，完全离散有限元与卷积时间积分法的弱收敛速率是多少？
• RQ2 在相同噪声正则性假设下，该弱收敛速率与强收敛速率相比如何？
• RQ3 在记忆存在的情况下，弱误差对空间网格尺寸 h 与时间步长 Δt 的依赖关系如何？
• RQ4 对于此类记忆影响的SPDE，是否可证明弱收敛阶为强收敛阶的两倍，如同抛物型与双曲型情形一样？
• RQ5 不同噪声结构（如白噪声、迹类噪声）如何影响弱收敛速率？

主要发现

• 数值解的弱误差满足 $ |\mathbf{E}\varphi(X_h^N) - \mathbf{E}\varphi(X(T))| \leq C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $，其中 $ \nu \in [0,1/\rho] $。
• 弱收敛速率本质上是强收敛速率的两倍，与抛物型与双曲型SPDE中的已知结果一致。
• 对于白噪声（Q=I），时间方向的弱收敛速率为 $ (1 - \rho/2)_- $，空间方向为 $ (2/\rho - 1)_- $，反映了记忆对正则性的影响。
• 当 Q 为迹类算子时，取 $ \nu = 1/\rho $ 可得时间方向弱收敛阶为 $ 1_- $，空间方向为 $ 2_- $，与有限维SPDE行为一致。
• 对于更一般的噪声，满足 $ A^\kappa Q \in \mathcal{B}(H) $ 且 $ \mathrm{Tr}(A^{-\alpha}) < \infty $，空间方向弱收敛阶为 $ (2/\rho - 2(\alpha - \kappa))_- $，时间方向为 $ (1 - \rho(\alpha - \kappa))_- $，再次为强收敛阶的两倍。
• 对数因子 $ \ln(T/(h^{2/\rho}+\Delta t)) $ 源于算子范数的时间积分，由于记忆核的弱奇异性而为必要项。