[论文解读] Weak convergence of empirical copula processes indexed by functions

Dragan Radulović, Marten Wegkamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过为有界变差的多元函数建立一种新颖的分部积分公式，证明了以单位超立方体上的函数为索引的经验 copula 过程的弱收敛性。在两种互补条件下——copula 的光滑性或索引函数的光滑性——该过程在有界函数空间中弱收敛。

ABSTRACT

Weak convergence of the empirical copula process indexed by a class of functions is established. Two scenarios are considered in which either some smoothness of these functions or smoothness of the underlying copula function is required. A novel integration by parts formula for multivariate, right continuous functions of bounded variation, which is perhaps of independent interest, is proved. It is a key ingredient in proving weak convergence of a general empirical process indexed by functions of bounded variation.

研究动机与目标

• 将经验 copula 过程从逐点评估推广至函数索引过程。
• 确定在何种条件下，该索引过程在 [0,1]^d 上的有界函数空间中弱收敛。
• 填补文献中关于 copula 不可微或索引函数缺乏光滑性时弱收敛性研究的空白。
• 为多元右连续有界变差函数开发一种新的分部积分公式，该公式是证明的核心。

提出的方法

• 使用经验 copula 过程的 càdlàg 版本，记为 $\bar{\mathbb{C}}_n$，以确保与 Lebesgue-Stieltjes 积分的兼容性。
• 定义函数索引过程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g) = \sqrt{n} \int g \, d(\bar{\mathbb{C}}_n - C)$，该过程推广了标准的经验 copula 过程。
• 证明一种针对多元有界变差函数的新分部积分公式，从而实现对索引过程的分析。
• 在两种情形下建立弱收敛性：(1) copula $C$ 的光滑性，以及 (2) 索引函数 $g$ 的光滑性。
• 利用有界变差函数的 Jordan 分解，并通过 Aistleitner & Dick (2014) 中的对应关系将其与测度联系起来。
• 应用 Vitali 变差与 HK 变差理论，验证低维投影上测度的有限性，以确保积分定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，以函数 $g$ 索引的经验 copula 过程在 $\ell^\infty([0,1]^d)$ 中弱收敛？
• RQ2 当 copula $C$ 不可微但索引函数 $g$ 光滑时，能否建立弱收敛性？
• RQ3 当 copula $C$ 光滑但索引函数 $g$ 不可微时，能否建立弱收敛性？
• RQ4 多元有界变差函数的分部积分在证明索引过程弱收敛性中起什么作用？
• RQ5 如何一致地定义有界变差函数在低维投影上的关联测度？

主要发现

• 建立了一种针对多元、右连续有界变差函数的新分部积分公式，该公式本身具有独立兴趣，且是主要结果的核心。
• 在两种互补条件下——copula $C$ 的光滑性或索引函数 $g$ 的光滑性——证明了函数索引经验 copula 过程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$ 的弱收敛性。
• 通过要求偏导数的一致等度连续性而非仅连续性，修正了 Van der Vaart & Wellner (2007) 中的一个小错误。
• 证明了在与 Segers (2012) 相同的弱条件下，过程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$ 渐近等价于标准经验 copula 过程。
• 从具有 HK 有界变差的函数的低维投影所定义的测度是良定义的，因为此类投影的 Vitali 变差是有限的。
• 证明表明，多元分部积分公式中的系数仅在指标和为空时非零，从而在最终恒等式中产生清晰的抵消结构。