[论文解读] Weak convergence of empirical Wasserstein type distances

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 8

一句话总结

本文建立了在两个连续分布相等或尾部极其接近的情况下，经验Wasserstein型距离的弱收敛性与中心极限定理（CLT）。研究引入了将分布尾部行为与代价函数 ρ 相关联的新条件，表明收敛速率与极限分布的关键取决于 ρ 在零与无穷远处的正则变异性，特别是在 F = G 的情形下。

ABSTRACT

We estimate contrasts $\int_0 ^1 ρ(F^{-1}(u)-G^{-1}(u))du$ between two continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$ such that the set $\{F=G\}$ is a finite union of intervals, possibly empty or $\mathbb{R}$. The non-negative convex cost function $ρ$ is not necessarily symmetric and the sample may come from any joint distribution $H$ on $\mathbb{R}^2$ with marginals $F$ and $G$ having light enough tails with respect to $ρ$. The rates of weak convergence and the limiting distributions are derived in a wide class of situations including the classical Wasserstein distances $W_1$ and $W_2$. The new phenomenon we describe in the case $F=G$ involves the behavior of $ρ$ near $0$, which we assume to be regularly varying with index ranging from $1$ to $2$ and to satisfy a key relation with the behavior of $ρ$ near $\infty$ through the common tails. Rates are then also regularly varying with powers ranging from $1/2$ to $1$ also affecting the limiting distribution, in addition to $H$.

研究动机与目标

• 在底层分布 F 和 G 可能相等或尾部极其接近的情况下，建立经验Wasserstein型距离的弱收敛性与中心极限定理（CLT）。
• 分析代价函数 ρ 在零与无穷远处的行为对收敛速率与极限分布的影响，尤其在 F = G 的情形下。
• 构建一个允许非对称、凸代价函数，并能处理相依或非独立同分布样本的框架。
• 推导出将 F 和 G 的尾部行为与代价函数 ρ 相关联的显式、可检验条件，避免使用隐式或概率性假设。
• 将先前关于Wasserstein距离的结果扩展至包含 W₁ 与 W₂ 的情形，并处理 F = G 时非对称 ρ 的挑战性情况。

提出的方法

• 该方法依赖于对积分区域 (0,1) 的精细划分，使得分位数过程可在各区域中被布朗桥近似。
• 在子区间上，对分位数过程 √n(𝐹̂ₙ⁻¹(u) − F⁻¹(u)) 与 √n(𝐺̂ₙ⁻¹(u) − G⁻¹(u)) 进行联合近似，使用适当缩放的布朗桥。
• 证明避免使用函数δ方法，因为当密度趋近于零时，F ↦ F⁻¹ 不具备Hadamard可微性。
• 应用强近似技术与匈牙利构造法，以控制分位数过程在边界 u = 0 与 u = 1 附近的行为。
• 分析 ρ 在 0 与 ∞ 处的正则变异性，并通过共同的尾部特性，建立其行为之间的关键关系。
• 通过分析涉及分位数过程差值的积分的极限行为，利用耦合与矩界，推导出经验对比的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 F = G 时，经验Wasserstein型距离的弱收敛速率与极限分布行为如何，尤其是在非对称代价函数下？
• RQ2 代价函数 ρ 与 F 和 G 尾部行为的哪些条件可确保在 F 与 G 接近或相等时，经验对比的弱收敛性与CLT成立？
• RQ3 ρ 在零与无穷远处的正则变异性如何影响 F = G 情形下的收敛速率与极限分布？
• RQ4 是否可在一个统一框架下处理经典Wasserstein距离 W₁ 与 W₂，使其适用于非独立同分布或相依样本？
• RQ5 当 F = G 时，样本的联合分布 H 在决定极限方差时起什么作用？

主要发现

• 当 F = G 且 ρ 在 0 处具有正则变异性（指数在 [1,2] 区间），经验对比的收敛速率也具有正则变异性，其指数在 [1/2,1] 区间，具体取决于 ρ 在 0 附近的性质。
• 在 F = G 情形下，极限分布是非正态的，且依赖于样本的联合分布 H，以及 ρ 在 0 与 ∞ 处的正则变异性参数。
• 当 F = G 且 ρ(x) = x² 在 0 附近时，极限分布可表示为 ∫₀¹ |B(u)| du，其中 B 为标准布朗桥。
• 当代价函数 ρ 不对称且在 0 处具有指数小于 2 的正则变异性时，收敛速率慢于 √n。
• CLT 中的极限方差依赖于样本的联合依赖结构（通过 H 表示），无法仅由边际行为决定。
• 本文提供了关于 F 与 G 尾部及代价 ρ 的显式、可检验条件，确保弱收敛性，避免了先前工作中使用的隐式或概率性假设。