[论文解读] Weak convergence of fully discrete finite element approximations of semilinear hyperbolic SPDE with additive noise

Mihály Kovács, Annika Lang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 13

一句话总结

本论文建立了带加性噪声的半线性随机波动方程全离散有限元逼近的弱收敛速率。通过空间有限元方法与指数函数的有理逼近进行时间积分，证明在适当条件下，弱收敛速率约为强收敛速率的两倍，利用马利avin微积分分析具有多项式有界导数的测试函数。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of the mild solution to a semilinear stochastic wave equation driven by additive noise. For the spatial approximation we consider a standard finite element method and for the temporal approximation, a rational approximation of the exponential function. We first show strong convergence of this approximation in both positive and negative order norms. With the help of Malliavin calculus techniques this result is then used to deduce weak convergence rates for the class of twice continuously differentiable test functions with polynomially bounded derivatives. Under appropriate assumptions on the parameters of the equation, the weak rate is found to be essentially twice the strong rate. This extends earlier work by one of the authors to the semilinear setting. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 研究带加性噪声的半线性随机波动方程全离散有限元格式的弱收敛性。
• 将先前的强收敛结果推广至半线性情形下的弱收敛设置。
• 在非线性项和初始数据具有正则性与光滑性假设的前提下，建立弱收敛速率约为强收敛速率两倍的结论。
• 为复杂空间区域中随机波动方程的数值模拟提供理论基础，其中基于特征函数的方法难以实施。
• 通过一维空间中的数值模拟验证理论结果。

提出的方法

• 对空间离散化采用标准的伽辽金有限元方法，使用分段线性或二次基函数。
• 对时间离散化采用指数函数的有理逼近，将Crank–Nicolson方法推广至随机半群情形。
• 采用弱解形式化方法，通过包含随机卷积的常数变易公式表达解。
• 应用马利avin微积分技术，通过分析具有多项式有界导数的测试函数的导数结构，推导弱收敛速率。
• 使用负阶范数控制弱误差，借助对偶论证实现更紧的误差界。
• 分析假设非线性项为至多线性增长且一阶导数为Lipschitz连续的Nemytskij算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 带加性噪声的半线性随机波动方程全离散有限元逼近的弱收敛速率是多少？
• RQ2 在半线性情形下，弱收敛速率与强收敛速率相比如何？
• RQ3 马利avin微积分能否有效用于推导具有非马尔可夫结构和加性噪声的SPDE的弱收敛速率？
• RQ4 在非线性项和初始数据满足何种条件下，弱收敛速率是强收敛速率的两倍？
• RQ5 理论收敛速率与实际应用中的数值实验结果相比如何？

主要发现

• 当非线性项为足够光滑的Nemytskij算子且初始数据光滑时，弱收敛速率约为强收敛速率的两倍。
• 当 d = 1, 2 且噪声为迹类，或 d = 1 且协方差为单位矩阵时，若强收敛速率为 O(h^{2/3})，则弱收敛速率为 O(h^{4/3})。
• 在 d = 1 的情形下，数值实验通过蒙特卡洛模拟验证了理论结果，显示弱误差的收敛阶与 O(h^{4/3}) 一致，强误差的收敛阶与 O(h^{2/3}) 一致。
• 该方法在特征函数基时间积分器难以实现的复杂区域几何中表现出鲁棒性。
• 利用负阶范数与马利avin微积分，实现了比经典伊藤公式或柯尔莫哥洛夫方程方法更紧的误差控制。
• 该分析在比先前工作略为更一般假设下成立，尤其适用于导数有界且Lipschitz连续的Nemytskij算子。