[论文解读] Weak convergence of path-dependent SDEs with irregular coefficients

Jianhai Bao, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 8

一句话总结

该论文通过基于Girsanov变换的新型扰动方法，建立了带不规则系数（特别是Hölder连续或可积漂移项）的路径相关SDEs的Euler-Maruyama与截断Euler-Maruyama格式的弱收敛性。关键贡献在于在最小正则性假设下证明了弱收敛性，该方法可推广至退化扩散过程及带记忆的随机哈密顿系统。

ABSTRACT

In this paper we develop via Girsanov's transformation a perturbation argument to investigate weak convergence of Euler-Maruyama (EM) scheme for path-dependent SDEs with Hölder continuous drifts. This approach is available to other scenarios, e.g., truncated EM schemes for non-degenerate SDEs with finite memory or infinite memory. Also, such trick can be applied to study weak convergence of truncated EM scheme for a range of stochastic Hamiltonian systems with irregular coefficients and with memory, which are typical degenerate dynamical systems. Moreover, the weak convergence of path-dependent SDEs under integrability condition is investigated by establishing, via the dimension-free Harnack inequality, exponential integrability of irregular drifts w.r.t. the invariant probability measure constructed explicitly in advance.

研究动机与目标

• 解决路径相关SDEs中不规则系数数值格式弱收敛结果稀缺的问题。
• 基于Girsanov变换发展一种扰动方法，分析在Hölder连续性和可积性条件下Euler-Maruyama格式的弱收敛性。
• 将该方法推广至具有有限或无限记忆的非退化SDEs的截断EM格式，以及具有奇异漂移项和记忆的随机哈密顿系统。
• 在可积性条件下，通过无维Harnack不等式建立不规则漂移项的指数可积性，从而在最小假设下确保弱收敛性。

提出的方法

• 利用Girsanov变换构造扰动论证，避免依赖Malliavin微积分或截断Itô公式。
• 应用无维Harnack不等式，推导出相对于显式构造的不变概率测度，不规则漂移项的指数可积性。
• 在Hölder连续性条件下，利用随机过程增长估计控制解路径的行为。
• 将扰动框架适配至具有有限/无限记忆的非退化SDEs的截断EM格式，以及退化随机哈密顿系统。
• 对形如 $\text{e}^{\gamma|Z(x)|^2} \wedge n$ 的函数应用Harnack不等式，推导矩界并确保可积性。
• 结合控制收敛定理与泰勒展开，估计不变测度的密度，并推导不变测度支撑的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设系数光滑的条件下，是否可为具有Hölder连续漂移项的路径相关SDEs建立Euler-Maruyama格式的弱收敛性？
• RQ2 基于Girsanov变换的扰动方法是否可推广至具有有限或无限记忆SDEs的截断EM格式？
• RQ3 能否利用该方法推导出具有奇异漂移项和记忆的随机哈密顿系统的弱收敛阶？
• RQ4 在何种漂移项可积性条件下，可通过Harnack不等式建立指数可积性，以确保弱收敛性？
• RQ5 在路径相关SDEs的弱收敛性分析中，是否可能避免使用如 $C_b^\infty$ 系数或光滑支付函数等强假设？

主要发现

• 在适当的时序离散化下，为具有Hölder连续漂移项的非退化路径相关SDEs，建立了Euler-Maruyama格式的弱收敛速率。
• 基于Girsanov变换的扰动方法成功避免了对Malliavin微积分或截断Itô公式的依赖，使得在更弱正则性假设下仍可进行分析。
• 在漂移项满足可积性条件时，无维Harnack不等式确保了 $|Z(Y^x(t))|^2$ 关于不变测度的指数可积性，从而导出一致的矩界。
• 该方法可推广至具有有限或无限记忆的非退化SDEs的截断EM格式，在相同条件下证明了弱收敛性。
• 对于具有奇异漂移项和记忆的随机哈密顿系统，截断EM格式实现了弱收敛，其收敛阶通过Harnack不等式显式导出。
• 不变测度 $\mu_0$ 被显式构造，Harnack不等式给出估计 $\mathbb{E}[\text{e}^{\gamma|Z(Y^x(t))|^2}] \leq C \cdot \text{e}^{L_0/(2(p-1))}$，该估计对证明可积性与收敛性至关重要。