[论文解读] Weak convergence of stochastic integrals driven by continuous-time random walks

Meredith N. Burr|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了由缩放的连续时间随机行走（CTRW）驱动的随机积分的弱收敛性，其收敛于极限过程驱动的积分，具体为α稳定Lévy运动和时间改变的布朗运动。利用Kurtz和Protter关于随机积分弱收敛的定理，证明了在积分器过程一致紧致性条件下的收敛性，验证了关于随机积分收敛于布朗运动伊藤积分的猜想。

ABSTRACT

Brownian motion is a well-known model for normal diffusion, but not all physical phenomena behave according to a Brownian motion. Many phenomena exhibit irregular diffusive behavior, called anomalous diffusion. Examples of anomalous diffusion have been observed in physics, hydrology, biology, and finance, among many other fields. Continuous-time random walks (CTRWs), introduced by Montroll and Weiss, serve as models for anomalous diffusion. CTRWs generalize the usual random walk model by allowing random waiting times between successive random jumps. Under certain conditions on the jumps and waiting times, scaled CTRWs can be shown to converge in distribution to a limit process M(t) in the cadlag space D[0,infinity) with the Skorohod J_1 or M_1 topology. An interesting question is whether stochastic integrals driven by the scaled CTRWs X^n(t) converge in distribution to a stochastic integral driven by the CTRW limit process M(t). We prove weak convergence of the stochastic integrals driven by CTRWs for certain classes of CTRWs, when the CTRW limit process is an alpha-stable Levy motion and when the CTRW limit process is a time-changed Brownian motion.

研究动机与目标

• 建立缩放的CTRW驱动的随机积分弱收敛于其极限过程驱动积分的条件。
• 验证Germano等人关于缩放的CTRW驱动的随机积分弱收敛于布朗运动伊藤积分的猜想。
• 为基于CTRW的随机过程建模异常扩散提供理论基础扩展。
• 在非马氏、重尾及时间改变过程中，为随机积分提供严格的弱收敛框架。

提出的方法

• 应用Kurtz和Protter关于随机积分弱收敛的定理，要求积分器过程具有一致紧致性。
• 在 càdlàg 函数空间 D[0,∞) 上使用 Skorohod J1 拓扑来分析分布收敛性。
• 建立 CTRW 过程 X^n(t) 收敛于极限过程 M(t)，其为 α 稳定 Lévy 运动或时间改变的布朗运动。
• 利用连续映射定理以及二次变差和指数函数等运算的 J1-连续性，推导相关过程的收敛性。
• 通过 Doleans-Dade 指数的对数展开分析，控制 CTRW 过程的随机指数的收敛性。
• 依赖于 Meerschaert 和 Scheffler 框架中 CTRW 的极限，其中等待时间与跳跃均呈正则变体，并处于稳定分布的吸引域内。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n→∞ 时，随机积分 ∫₀ᵗ Hⁿ(s−) dXⁿ(s) 在何种条件下弱收敛于 ∫₀ᵗ H(s−) dM(s)？
• RQ2 如 Germano 等人所猜想，缩放 CTRW 的随机积分是否在分布上收敛于布朗运动的伊藤积分？
• RQ3 当 CTRW 极限过程为 α 稳定 Lévy 运动时，能否建立随机积分的弱收敛性？
• RQ4 当极限过程为由子ordinator 驱动的时间改变布朗运动时，能否证明弱收敛性？

主要发现

• 在适当的缩放和一致紧致性条件下，由缩放 CTRW 驱动的随机积分弱收敛于由 α 稳定 Lévy 运动极限过程驱动的随机积分。
• 验证了 Germano 等人的猜想：当 n→∞ 时，有 ∫₀ᵗ Xⁿ(s−) dXⁿ(s) ⇒ ∫₀ᵗ B(s) dB(s) 在分布上收敛。
• 对于时间改变布朗运动的极限，当时间改变为子ordinator 且 CTRW 缩放满足吸引域条件时，随机积分的弱收敛性成立。
• 收敛性依赖于 CTRW 过程 Xⁿ 的一致紧致性，这确保了 Kutz 和 Protter 的弱收敛定理可适用。
• 通过 J1-连续性和连续映射定理，建立了 Doléans-Dade 指数 exp{Zⁿ − ½[Zⁿ,Zⁿ]} 对 exp{B(E) − ½E} 的收敛性。
• 指数中的对数校正项以概率收敛于零，证实了归一化随机指数收敛于极限过程。