[论文解读] Weak convergence rates for numerical approximations of stochastic partial differential equations with nonlinear diffusion coefficients in UMD Banach spaces

Mario Hefter, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文在UMD Banach空间中，为具有非线性扩散系数的非线性随机偏微分方程（SPDE）的指数欧拉时间半离散逼近建立了本质上精确的弱收敛速率。通过利用具有类型2的UMD空间中的弱伊藤公式，作者证明了对任意 $\varepsilon > 0$，弱收敛速率为 $\frac{1}{2} - \varepsilon$，从而解决了在空间-时间白噪声驱动下，非仿射扩散系数文献中长期存在的理论缺口。

ABSTRACT

Strong convergence rates for numerical approximations of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SPDEs have been investigated for about two decades and are still not yet fully understood. In particular, no essentially sharp weak convergence rates are known for temporal or spatial numerical approximations of space-time white noise driven SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. In this article we overcome this problem by establishing essentially sharp weak convergence rates for exponential Euler approximations of semilinear SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. Key ingredients of our approach are applications of the mild Itô type formula in UMD Banach spaces with type 2.

研究动机与目标

• 解决在扩散系数中具有非线性乘法算子的SPDE的时间或空间数值逼近中，缺乏本质上精确的弱收敛速率的问题。
• 将现有的弱收敛理论扩展至非仿射扩散系数，而此前的研究主要集中在仿射扩散系数上。
• 在空间-时间白噪声驱动的SPDE背景下，建立指数欧拉格式的收敛速率。
• 通过在具有类型2的UMD空间中使用弱伊藤公式，为无限维随机系统中的弱收敛提供严谨的分析框架。

提出的方法

• 在具有类型2的UMD Banach空间中应用弱伊藤型公式，以推导弱收敛估计。
• 对具有非线性扩散系数的SPDE使用指数欧拉时间半离散逼近。
• 假设漂移和扩散系数为四阶连续可微且全局Lipschitz连续。
• 在正常滤子和圆柱Wiener过程下，分析 $L^p((0,1);\mathbb{R})$-值过程中的SPDE。
• 通过UMD空间中的插值和最大正则性估计，建立矩界和路径正则性。
• 利用扰动方法和UMD空间中的随机积分理论，控制弱误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在UMD Banach空间中，具有非线性扩散系数的SPDE的指数欧拉时间半离散逼近可实现何种弱收敛速率？
• RQ2 当扩散系数为非线性（非仿射）时，能否为由空间-时间白噪声驱动的SPDE建立本质上精确的弱收敛速率？
• RQ3 具有类型2的UMD Banach空间中的弱伊藤公式如何在无限维设置中实现弱收敛速率的推导？
• RQ4 所推导的弱收敛速率的精确性如何？能否将其改进至超过 $\frac{1}{2} - \varepsilon$？

主要发现

• 本文建立了指数欧拉逼近的弱收敛速率为 $N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$，其中 $N$ 为时间步数，$\varepsilon > 0$ 为任意正数。
• 速率 $\frac{1}{2} - \varepsilon$ 本质上是精确的，因为在漂移线性且扩散恒定的情况下，其下界与之匹配。
• 在特殊情形 $f(x) = 0$，$b(x) = 1$，且 $\xi \equiv 0$ 下，弱误差满足 $c \cdot N^{-\frac{1}{2}} \leq \left| \mathbb{E}[\varphi(X_T)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_N^N)] \right| \leq C \cdot N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$，其中 $c, C > 0$，从而证明了该速率的精确性。
• 该方法可推广至其他格式，如线性隐式欧拉逼近，表明该理论框架具有更广泛的应用潜力。
• 该分析依赖于具有类型2的UMD Banach空间中的弱伊藤公式，该公式使得在无限维空间中处理非线性和随机积分成为可能。