[论文解读] Weak Convergence to Brownian Motion on Sub-Riemannian Manifolds

Maria Gordina, Thomas Laetsch|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过沿哈密顿流平均二阶导数构造的次拉普拉斯算子，建立了子黎曼流形上一种几何自然的随机游走弱收敛于水平布朗运动的结果。关键贡献在于定义了一个不依赖于任意体积测度的典范次拉普拉斯算子，其生成的极限过程在海森堡群上被验证为霍尔曼的平方和算子。

ABSTRACT

This paper considers a classical question of approximation of Brownian motion by a random walk in the setting of a sub-Riemannian manifold $M$. To construct such a random walk we first address several issues related to the degeneracy of such a manifold. In particular, we define a family of sub-Laplacian operators naturally connected to the geometry of the underlining manifold. In the case when $M$ is a Riemannian (non-degenerate) manifold, we recover the Laplace-Beltrami operator. We then construct the corresponding random walk, and under standard assumptions on the sub-Laplacian and $M$ we show that this random walk weakly converges to a process, horizontal Brownian motion, whose infinitesimal generator is the sub-Laplacian. An example of the Heisenberg group equipped with a standard sub-Riemannian metric is considered in detail, in which case the sub-Laplacian we introduced is shown to be the sum of squares (Hörmander's) operator.

研究动机与目标

• 在子黎曼流形上构建一种几何自然的随机游走，使其弱收敛于扩散过程。
• 通过哈密顿流平均的方法，定义一个不依赖于任意体积测度的典范次拉普拉斯算子。
• 通过在余切丛中构造游走，解决子黎曼几何中切空间与余切空间之间缺乏对偶性的问题。
• 建立极限过程收敛于生成算子为次拉普拉斯算子的水平布朗运动，特别是在海森堡群设定下。
• 在不预先假设如庞普测度或豪斯多夫测度等测度的前提下，为子黎曼扩散过程提供概率基础。

提出的方法

• 在余切丛中构造分段哈密顿流随机游走，以克服子黎曼几何中切空间与余切空间对偶性缺失的问题。
• 将次拉普拉斯算子定义为沿水平分布中哈密顿向量场的二阶方向导数的平均。
• 在余切丛上使用相容的黎曼度量来定义方向的单位球面，确保游走的适定性。
• 通过预解式收敛建立弱收敛：证明随机游走的预解式收敛于次拉普拉斯算子生成元的预解式。
• 利用次拉普拉斯算子仅依赖于垂直丛、而不依赖于相容度量选择的性质，确保其几何不变性。
• 通过涉及水平分布中单位球面上首达时间与条件期望的更新型论证证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在子黎曼流形上构造一种随机游走，使其弱收敛于扩散过程？
• RQ2 子黎曼几何中是否存在一个不依赖于任意体积测度选择的典范次拉普拉斯算子？
• RQ3 在子黎曼几何中，如何在随机过程构造中解决切空间与余切空间对偶性缺失的问题？
• RQ4 子黎曼设定下极限过程的无穷小生成元是什么？它与霍尔曼平方和算子等已知算子有何关系？
• RQ5 通过哈密顿流平均定义的次拉普拉斯算子，是否在海森堡群上产生正确的水平布朗运动？

主要发现

• 所构造的随机游走弱收敛于一个生成元等于沿哈密顿流平均二阶导数定义的次拉普拉斯算子的过程。
• 次拉普拉斯算子不依赖于相容黎曼度量的选择，仅依赖于水平分布及其内积。
• 在标准子黎曼度量下的海森堡群上，次拉普拉斯算子与霍尔曼的平方和算子一致。
• 收敛性通过预解式收敛建立：随机游走的预解式收敛于次拉普拉斯算子生成元的预解式。
• 该方法避免依赖庞普测度或其他典型测度，使构造完全内蕴于子黎曼几何。
• 在水平分布中单位球面上的平均产生一个与范数平方成正比的二次型，比例系数为 1/m，其中 m 为分布的秩。