[论文解读] Weak del Pezzo surfaces with global vector fields

Gebhard Martin, Claudia Stadlmayr|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

该论文在任意特征的代数闭域上，通过其自同构概形结构和 $(-1)$-曲线与 $(-2)$-曲线的配置，对具有全局向量场的光滑弱 del Pezzo 曲面进行分类。在特征 $p \neq 2,3$、$p=3$ 和 $p=2$ 时，分别识别出 53、61 和 75 个不同的族，并表明非约化自同构概形仅在特征 2 和 3 时出现。

ABSTRACT

We classify smooth weak del Pezzo surfaces with global vector fields over an arbitrary algebraically closed field $k$ of arbitrary characteristic $p \geq 0$. We give a complete description of the configuration of $(-1)$- and $(-2)$-curves on these surfaces and calculate the identity component of their automorphism schemes. It turns out that there are $53$ distinct families of such surfaces if $p eq 2,3$, while there are $61$ such families if $p = 3$, and $75$ such families if $p = 2$. Each of these families has at most one moduli. As a byproduct of our classification, it follows that weak del Pezzo surfaces with non-reduced automorphism scheme exist over $k$ if and only if $p \in \{2,3\}$.

研究动机与目标

• 对在代数闭域上具有全局向量场的光滑弱 del Pezzo 曲面进行分类。
• 确定此类曲面上 $(-1)$-曲线与 $(-2)$-曲线的配置。
• 对每种情况计算自同构概形 $\operatorname{Aut}_X^0$ 的恒等连通分支。
• 识别 $\operatorname{Aut}_X^0$ 何时为非约化，特别是在正特征情形下。
• 确定每类此类曲面的模形式维数。

提出的方法

• 利用 $\operatorname{Aut}_X^0$ 通过 Blanchard 引理下降到极小模型这一事实，通过 $\operatorname{PGL}_3$ 中的稳定化子实现显式计算。
• 分析 $\operatorname{Aut}_X^0$ 在 $\mathbb{P}^2$ 上至多 8 个点的几乎一般位置的爆破配置上的作用。
• 根据曲线配置对曲面进行分类，区分 $(-1)$-曲线（细）与 $(-2)$-曲线（粗），其交点重数最高为 3。
• 通过计算 $H^0(X, T_X) = \operatorname{Aut}_X^0(k[\epsilon]/(\epsilon^2))$ 来检测 $\operatorname{Aut}_X^0$ 的非约化性。
• 利用不变量理论和 $\operatorname{PGL}_3$-等变几何，确定 $k$-概形 $R$ 上 $\operatorname{Aut}_X^0(R)$ 的结构。
• 通过分析同构类与形变参数，确定模形式维数，其中 $\{\text{pt}\}$ 表示唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数闭域上，哪些弱 del Pezzo 曲面具有非平凡的全局向量场？
• RQ2 在不同特征下，此类曲面上 $(-1)$-曲线与 $(-2)$-曲线的配置有何差异？
• RQ3 在哪些特征下，恒等连通分支 $\operatorname{Aut}_X^0$ 不再光滑（即变为非约化）？
• RQ4 这些曲面具有多少模形式？模形式空间何时为零维？
• RQ5 作为群概形，$\operatorname{Aut}_X^0$ 的精确结构是什么？它如何作用于曲面？

主要发现

• 当 $p \neq 2,3$ 时，恰好存在 53 个具有全局向量场的弱 del Pezzo 曲面族。
• 当 $p = 3$ 时，此类族有 61 个；当 $p = 2$ 时，有 75 个，反映出正特征下复杂性的增加。
• 非约化自同构概形当且仅当 $p \in \{2,3\}$ 时出现，此时 $\operatorname{Aut}_X^0$ 非光滑。
• 在特征 2 时，恒等连通分支 $\operatorname{Aut}_X^0$ 同构于 $\mu_2$（单位根的群）；在其他情况下为平凡群。
• 对每类族，模形式空间均为不可约，且维数至多为 1，仅在依赖于参数 $\alpha$ 的情形下维数为 1。
• 该分类包括所有具有全局向量场的雅可比有理（拟）椭圆曲面，通过度数为 1 的弱 del Pezzo 曲面的爆破实现。