[论文解读] Weak disorder for low dimensional polymers: The model of stable laws

Francis Comets|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文研究了在长程跳跃由 $\alpha$-稳定分布控制的随机环境中定向聚合物，将弱 disorder 理论扩展至非最近邻随机行走的情形。研究证明，在低维情形（d=1, $\alpha<1$；d=2, $\alpha<2$）下，当跳跃尾部具有重尾特性时，弱 disorder——即去局域化——可发生，这与短程行走的经典结果相矛盾。

ABSTRACT

In this paper, we consider directed polymers in random environment with long range jumps in discrete space and time. We extend to this case some techniques, results and classifications known in the usual short range case. However, some properties are drastically different when the underlying random walk belongs to the domain of attraction of an $\a$-stable law. For instance, we construct natural examples of directed polymers in random environment which experience weak disorder in low dimension.

研究动机与目标

• 将弱 disorder 和强 disorder 分类推广至具有长程跳跃的离散时空中的定向聚合物。
• 研究重尾跳跃分布（稳定分布）如何影响低维情形下的局域化相变。
• 构建低维聚合物中弱 disorder 的自然例子，挑战最近邻行走的经典结果。
• 阐明弱 disorder 与两个独立随机行走者无限次相遇之间的关系。
• 建立相图，并通过自由能和聚合物质量集中度来表征去局域化/局域化。

提出的方法

• 利用 $\alpha$-稳定分布的吸引域来建模底层随机行走中的长程跳跃分布。
• 应用复制耦合方法以及对配分函数的矩基界来分析弱 disorder。
• 采用条件 $\lambda(\beta\theta) + \ln \sum_x q(x)^\theta < \lambda(\beta)$ 推导弱 disorder 的充分条件。
• 依赖于 $p = \lambda$（自由能相等）与去局域化等价，以及 $p < \lambda$ 与局域化等价的关系。
• 使用量 $I_n = \mu_{n-1}^{\otimes 2}(\omega_n = \tilde{\omega}_n)$ 来表征两个独立行走者相遇的次数。
• 应用准则 $\sum_n I_n = \infty$ a.s. 来通过 $W_\infty = 0$ 识别弱 disorder，将其与去局域化联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层随机行走的长程跳跃由稳定分布控制时，弱 disorder 是否可能在低维定向聚合物中出现？
• RQ2 稳定分布的指数 $\alpha$ 如何影响低维情形下去局域化相的存在性？
• RQ3 本模型中，弱 disorder 与两个独立随机行走者无限次相遇之间存在何种关系？
• RQ4 对于最近邻行走，1 和 2 维中强 disorder 始终成立的标准结果是否可推广至长程跳跃模型？
• RQ5 能否构建一个相图，基于 $\beta$ 和 $\alpha$ 区分去局域化与局域化区域？

主要发现

• 当 $d=1$ 且 $\alpha<1$，或 $d=2$ 且 $\alpha<2$ 时，在条件 (4.17) 下，对所有 $\beta$ 均存在弱 disorder，意味着去局域化。
• 在 $d=1$，$\alpha<1$ 的情形下，临界逆温度 $\beta_c > 0$，表明存在非平凡的相变。
• 条件 $\sum_n I_n = \infty$ a.s. 与 $W_\infty = 0$ 等价，后者表征弱 disorder 和去局域化。
• 当 $p = \lambda$ 时，聚合物处于去局域化状态；当 $p < \lambda$ 时，聚合物处于局域化状态，确立了二元划分。
• 对于 $d \geq 3$，结果在定性上与最近邻情形相似，但低维行为本质不同。
• 质量 $J_n = \max_x \mu_{n-1}(\omega_n = x)$ 在去局域化下满足 $J_n \to 0$ a.s.，而在局域化下满足 $\liminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n J_t > 0$。