[论文解读] Weak eigenstate thermalization with large deviation bound

Takashi Mori|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Quantum many-body systems被引用 26

一句话总结

该论文为在d维晶格上具有平移不变性的量子自旋系统中的本征态热化假说（ETH）建立了大偏差界，表明非热化本征态的比例随系统尺寸N指数衰减。通过分析能量本征态中局部可观测量的对角矩阵元，证明了典型本征态以指数小的涨落满足ETH，利用大偏差理论显著强化了标准弱ETH，并为孤立量子系统中的热化提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) for a translationally invariant quantum spin system on the $d$-dimensional cubic lattice under the periodic boundary conditions. It is known that the ETH holds in this model for typical energy eigenstates in the sense that the standard deviation of the expectation values of a local observable in the energy eigenstates within the microcanonical energy shell vanishes in the thermodynamic limit, which is called the weak ETH. Here, it is remarked that the diagonal elements of a local observable in the energy representation shows the large deviation behavior. This result implies that the fraction of atypical eigenstates which do not represent thermal equilibrium is exponentially small.

研究动机与目标

• 为平移不变的量子自旋系统建立比标准弱ETH更强的本征态热化假说（ETH）形式。
• 量化微正则能量壳内典型（非热化）能级本征态的比例。
• 利用大偏差理论证明该比例随系统尺寸N指数衰减。
• 基于有效维度和大偏差界，提供孤立量子系统热化的严格充分条件。
• 阐明可积与不可积系统在有效维度标度上的区别。

提出的方法

• 分析微正则能量壳 H_{E,ΔE} 内能量本征态 |n⟩ 中局部可观测量 O 的对角矩阵元 ⟨n|O|n⟩。
• 引入宏观可观测量 M = (1/N)∑_{x∈Λ} O_x，其具有平移不变性且有界。
• 将大偏差理论应用于微正则系综，定义速率函数 I(m)，以控制 M 的涨落指数衰减。
• 利用 Varadhan 定理，将矩生成函数 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N 与 Legendre-Fenchel 变换 φ(λ) = sup_m[λm - I(m)] 关联。
• 推导出大偏差概率的上界：Prob{|⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ} ≤ e^{-Nγ}，其中 γ > 0。
• 基于有效维度 D_eff > e^{-ηN} dim H_{E,ΔE}（η < γ）建立热化的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 微正则系综中非热化本征态的比例能否以系统尺寸N的指数形式而非多项式形式进行有界？
• RQ2 对于d维晶格上短程相互作用的量子自旋系统，弱ETH是否具有指数大偏差界？
• RQ3 有效维度 D_eff 在决定量子态在时间演化下是否热化方面起什么作用？
• RQ4 在量子淬火动力学背景下，可积与不可积系统的偏差界有何不同？
• RQ5 速率函数 I(m) 能否严格关联到平移不变系统中局部可观测量的本征态性质？

主要发现

• 满足 |⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ 的非热化能级本征态比例以 e^{-Nγ} 指数衰减（γ > 0），显著优于 Chebyshev 不等式给出的多项式界。
• 当 d=1 且温度为正，或 d≥2 在高温区域时，大偏差界（2）成立，意味着热化本征态具有强典型性。
• 矩生成函数 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N 的上界为 φ(λ) = sup_m[λm - I(m)]，建立了与大偏差理论的联系。
• 为确保热化，有效维度 D_eff 必须满足 D_eff > e^{-ηN} dim H_{E,ΔE}（η < γ），即使 D_eff 比完整微正则维度指数小也成立。
• 结果表明，即使有效维度较低，只要不被指数抑制，热化仍可发生，这有助于解释可积与不可积系统之间的差异。
• 非可积系统的数值证据表明 D_eff ≈ dim H_{E,ΔE}，而可积系统则显示 D_eff ≪ e^{-γN} dim H_{E,ΔE}，揭示了本征态统计的根本差异。