[论文解读] Weak enriched categories - Categories enrichies faibles

Régis Pellissier|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2003

Linguistics and Discourse Analysis被引用 9

一句话总结

该论文为具有离散对象的范畴 C 上的弱丰富范畴建立了闭模型范畴结构，采用 Quillen 风格的小对象方法对胞射添加方案进行构造。通过基本群范畴与拓扑 Segal 群范畴的几何实现之间的伴随关系，该方法恢复了 Segal 范畴作为特例。

ABSTRACT

This thesis is devoted to the proof of a theorem showing the existence of a closed model category structure for weakly enriched categories. It requires first of all the definitions of weakly enriched categories and equivalences of weakly enriched categories such that these definitions recover some existing notions of higher order weak categories, for example Segal categories, Tamsamani n-categories and strict n-categories. In order to prove our theorem, we elaborate a theory of plans for cell addition following the approach of the small object argument a la Quillen. We conclude this work with the proof that our theorem recovers the case of Segal categories. This last result requires a fundamental groupoid-geometric realization adjunction between Segal groupoids and topological spaces.

研究动机与目标

• 定义弱丰富范畴及其弱等价关系，以推广高阶弱范畴（如 Segal 范畴和 Tamsamani n-范畴）的框架。
• 发展胞射添加方案的理论，类比 Quillen 的小对象方法，用于构造可公理化替换。
• 在 C-预范畴（即 Δ^op → C 的函子）上建立闭模型范畴结构，其中弱等价关系由范畴化过程诱导。
• 证明所构造的模型结构通过基本群范畴与几何实现之间的伴随关系，能恢复已知的 Segal 范畴上的闭模型结构。
• 利用 C 中的离散对象，将现有高阶弱范畴框架统一于单一丰富范畴框架之下。

提出的方法

• 将 C-预范畴定义为从 Δ^op 到范畴 C 的函子，其中 C 配备了离散对象的概念。
• 将 C-范畴定义为满足 Segal 条件的 C-预范畴，即面映射 A_m → A_1 ×_{A_0} … ×_{A_0} A_1 在 C 中是弱等价。
• 通过胞射添加方案的小对象方法，构造 C-预范畴范畴中的可公理化替换。
• 通过范畴化定义 C-范畴之间的弱等价，要求本质满射且全忠实。
• 在 Segal 群范畴与拓扑空间之间建立基本群范畴-几何实现的伴随关系，以恢复 Segal 情形。
• 利用标记态射与 I-可公理化态射的概念，定义 C-预范畴上模型结构中的纤维化与弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义弱丰富范畴，使其能推广 Segal 范畴、Tamsamani n-范畴以及严格 n-范畴？
• RQ2 范畴 C 需要满足何种条件（如存在离散对象）才能定义出行为良好的 C-预范畴范畴？
• RQ3 是否可以在 C-预范畴上构造出闭模型范畴结构，使得弱等价关系在范畴化后对应于相关 C-范畴的等价关系？
• RQ4 C-预范畴上的模型结构是否能恢复已知的 Segal 范畴上的闭模型结构？
• RQ5 小对象方法在构造 C-预范畴的可公理化替换中起到何种作用？其如何推广 Quillen 的方法？

主要发现

• 在 C-预范畴范畴上存在一个闭模型范畴结构，其中弱等价关系是指在范畴化后成为 C-范畴等价的态射。
• 该模型结构通过适配胞射添加方案的小对象方法（Quillen 风格）构建，确保了函子性分解的存在。
• 当 C 为拓扑空间范畴时，该构造作为特例恢复了已知的 Segal 范畴上的闭模型结构。
• 在 Segal 群范畴与拓扑空间之间建立了基本群范畴与几何实现之间的伴随关系，这对恢复 Segal 情形至关重要。
• 通过 Segal 条件与 C 中的弱等价关系定义 C-范畴，推广了现有的高阶弱范畴概念，包括 Tamsamani 的 n-范畴。
• 在 C 中使用离散对象可确保 C-范畴的底对象集 A₀ 为一个集合，这对范畴化过程的良定义性至关重要。