[论文解读] Weak equilibriums for time-inconsistent stopping control problems

Zongxia Liang, Fengyi Yuan|arXiv (Cornell University)|May 1, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文针对多维扩散模型中的时间不一致停止控制问题，提出了弱均衡的概念，建立了与现有理论一致的形式化均衡定义。研究证明，当且仅当关联的哈密顿系统满足由弱光滑匹配原则所决定的边界条件时，均衡存在，从而在理论上实现了非平凡的拓展，并通过一个具体的示例加以说明。

ABSTRACT

This paper studies time-inconsistent stopping control problems under general multi-dimensional controlled diffusion model. We first formulate the time-inconsistent stopping control problems and propose a formal definition of their equilibriums. This definition for equilibriums is consistent with the ones in pure control/stopping problems and thus can be seen as nontrivial extension to the existing theory. We show that an admissible pair $(\hat{u},C)$ of control-stopping policy is equilibrium if and only if the axillary function associated to it solves the extended Hamiltonian system. We provide almost equivalent conditions to the boundary term of this Hamiltonian system, which is basically the celebrated smooth fitting principles. In this paper we further reformulate them and propose strong and weak smooth fitting principles. We also give one concrete example that illustrates our theoretical results.

研究动机与目标

• 为一般多维受控扩散模型中的时间不一致停止控制问题形式化均衡解。
• 将现有均衡理论从纯控制问题拓展至控制-停止联合问题。
• 通过辅助哈密顿系统建立均衡的必要与充分条件。
• 将光滑匹配原则重新表述为哈密顿系统边界条件的弱与强版本。
• 提供一个具体示例，以展示理论框架的应用性。

提出的方法

• 提出时间不一致停止控制问题中均衡的形式化定义，该定义推广了纯控制情境下的现有定义。
• 为每个控制-停止策略引入一个辅助函数，以表征均衡条件。
• 推导出扩展的哈密顿系统，其解决定均衡策略。
• 将弱与强光滑匹配原则作为哈密顿系统边界项的等价条件进行表述。
• 利用哈密顿系统推导均衡的必要与充分条件，将其与动态规划原理相联系。
• 通过一个具体示例说明该框架，以验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般多维扩散模型下，时间不一致停止控制问题中的均衡解应如何形式化定义？
• RQ2 在何种条件下，一个控制-停止策略可构成此类时间不一致框架下的均衡？
• RQ3 在本研究背景下，光滑匹配原则如何适应扩展哈密顿系统的边界条件？
• RQ4 哈密顿系统与停止控制问题中的均衡条件之间存在何种关系？
• RQ5 弱与强光滑匹配原则在何种程度上细化了均衡解的表征？

主要发现

• 可容许的控制-停止对 $(\hat{u}, C)$ 是均衡的，当且仅当其关联的辅助函数满足扩展哈密顿系统。
• 哈密顿系统的边界条件由弱光滑匹配原则表征，且该原则被证明几乎等价于均衡条件。
• 本文引入强与弱光滑匹配原则，作为边界条件的重新表述，为均衡表征提供了新的分析工具。
• 通过一个具体示例验证了理论框架，展示了均衡条件的应用。
• 研究结果将现有时间不一致控制理论拓展至包含停止决策的情形，为控制-停止联合问题提供了统一的分析方法。