[论文解读] Weak existence and uniqueness for affine stochastic Volterra equations with L1-kernels

Eduardo Abi Jaber|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 23

一句话总结

本文通过傅里叶-拉普拉斯变换上的对偶性论证以及一个确定性的里卡蒂-伏尔泰拉积分方程，建立了具有 $L^1$-核的仿射随机伏尔泰拉方程的弱存在性、唯一性和稳定性。关键贡献在于在一般 $L^1$-核框架下证明了弱唯一性，从而将适用范围扩展至负赫斯特指数的分数阶动力系统以及超粗糙赫斯顿模型。

ABSTRACT

We provide existence, uniqueness and stability results for affine stochastic Volterra equations with $L^1$-kernels and jumps. Such equations arise as scaling limits of branching processes in population genetics and self-exciting Hawkes processes in mathematical finance. The strategy we adopt for the existence part is based on approximations using stochastic Volterra equations with $L^2$-kernels combined with a general stability result. Most importantly, we establish weak uniqueness using a duality argument on the Fourier--Laplace transform via a deterministic Riccati--Volterra integral equation. We illustrate the applicability of our results on Hawkes processes and a class of hyper-rough Volterra Heston models with a Hurst index $H \\in (-1/2,1/2]$.

研究动机与目标

• 建立具有局部 $L^1$-可积核的仿射随机伏尔泰拉方程的弱存在性和唯一性，突破传统的 $L^2$-核框架。
• 解决使用 $L^1$-核时解过程缺乏绝对连续性的问题，从而使得基于 $L^2$ 的先前方法失效。
• 为种群遗传学中分支过程的标度极限以及数学金融中自激发霍克斯过程提供严格的理论基础。
• 实现对负赫斯特指数 $H \in (-1/2, 0)$ 的分数阶动力系统（包括超粗糙赫斯顿模型）的建模。
• 验证多因子马尔可夫近似在非正赫斯特指数区域下对粗糙波动率模型的收敛性。

提出的方法

• 通过 $L^2$-核随机伏尔泰拉方程序列逼近 $L^1$-核方程，以建立弱存在性。
• 应用近似序列的一般稳定性结果，实现依分布取极限。
• 利用解的分布的傅里叶-拉普拉斯变换上的对偶性论证，证明弱唯一性。
• 推导出控制解的特征函数的确定性里卡蒂-伏尔泰拉积分方程。
• 运用随机富比尼定理，在局部占时过程推导中交换积分顺序。
• 通过催化超过程和 $H \in (-1/2, 1/2]$ 的超粗糙赫斯顿模型的应用，验证该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在解可能不绝对连续的情况下，为具有 $L^1$-核的仿射随机伏尔泰拉方程建立弱存在性和唯一性？
• RQ2 当缺乏 $L^2$-核正则性时，特别是当二次变差不绝对连续时，如何证明弱唯一性？
• RQ3 该框架在多大程度上可容纳负赫斯特指数的分数阶动力系统，例如粗糙波动率模型？
• RQ4 即使赫斯特指数非正，多因子马尔可夫近似是否仍能收敛至超粗糙赫斯顿模型？
• RQ5 催化超布朗运动的局部占时与具有 $L^1$-核的随机伏尔泰拉方程之间存在何种精确联系？

主要发现

• 通过 $L^2$-核方程逼近和一般稳定性结果，建立了弱存在性，确保依分布收敛。
• 利用傅里叶-拉普拉斯变换上的对偶性论证证明了弱唯一性，将问题归约为一个确定性的里卡蒂-伏尔泰拉方程。
• 里卡蒂-伏尔泰拉方程的解控制仿射过程的特征函数，从而可进行矩生成函数的计算。
• 该框架适用于赫斯特指数 $H \in (-1/2, 1/2]$ 的超粗糙赫斯顿模型，包括 $H \in (-1/2, 0)$，扩展了先前结果。
• 具有点催化剂的催化超布朗运动的局部占时满足核为 $K(t) = t^{-1/2}$ 的随机伏尔泰拉方程，对应于 $H = -1/4$。
• 即使在 $H \in (-1/2, 0]$ 的情况下，多因子马尔可夫近似仍收敛至超粗糙赫斯顿模型，从而支持数值模拟。