[论文解读] Weak Expansiveness for Actions of Sofic Groups

Nhan‐Phu Chung, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 2

一句话总结

本文通过开覆盖和尾熵，引入了索菲克群作用的 h-膨胀性与渐近 h-膨胀性，推广了 Misiurewicz 和 Bowen 的概念。证明了每个膨胀的索菲克群作用都是 h-膨胀的，且每个渐近 h-膨胀作用由于熵函数关于测度的上半连续性，均存在最大熵测度。

ABSTRACT

In this paper, we shall introduce $h$-expansiveness and asymptotical $h$-expansiveness for actions of sofic groups. By the definitions, each h-expansive action of sofic groups is asymptotically $h$-expansive. We show that each expansive action of sofic groups is $h$-expansive, and, for any given asymptotically $h$-expansive action of sofic groups, the entropy function (with respect to measures) is upper semi-continuous and hence the system admits a measure with maximal entropy. Observe that asymptotically $h$-expansive property was firstly introduced and studied by Misiurewicz for $\mathbb{Z}$-actions using the language of tail entropy. And thus in the remaining part of the paper, we shall compare our definitions of weak expansiveness for actions of sofic groups with the definitions given in the same spirit of Misiurewicz's ideas when the group is amenable. It turns out that these two definitions are equivalent in this setting.

研究动机与目标

• 将原本针对 Z-作用定义的 h-膨胀性与渐近 h-膨胀系统概念，自然推广至索菲克群作用。
• 建立索菲克群的膨胀作用必为 h-膨胀作用，将经典结果推广至非平移不变情形。
• 证明对于渐近 h-膨胀的索菲克群作用，测度论熵函数关于不变测度是上半连续的，从而保证最大熵测度的存在性。
• 将新定义与可换情形下 Misiurewicz 的尾熵方法进行比较，证明其等价性。
• 刻画紧致阿贝尔群自同态作用下的渐近 h-膨胀作用，证明其与有限熵等价。

提出的方法

• 利用开覆盖与索菲克逼近序列，定义索菲克群作用的 h-膨胀性与渐近 h-膨胀性。
• 采用 Bowen 与 Kerr-Li 提出的索菲克测度论熵框架，分析关于不变测度的熵函数。
• 以 Misiurewicz 的思想为基础，引入并分析可换群作用的尾熵，使用嵌套开覆盖与条件熵。
• 引入 α-一致测度的概念，将测度论性质与拓扑结构联系起来。
• 利用覆盖数与集合测度（MF(V)）的组合估计，界定熵的差异。
• 证明当作用群为可换群时，索菲克群的定义与 Misiurewicz 的尾熵定义等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 h-膨胀性与渐近 h-膨胀系统的概念能否自然地从 Z-作用推广至索菲克群作用？
• RQ2 每个索菲克群的膨胀作用是否必然为 h-膨胀作用？
• RQ3 对于索菲克群作用，渐近 h-膨胀性是否蕴含熵函数关于不变测度的上半连续性？
• RQ4 当作用群为可换群时，索菲克群的弱膨胀性定义是否与 Misiurewicz 的尾熵定义等价？
• RQ5 对于可换群在紧致阿贝尔群上的连续自同态作用，渐近 h-膨胀性是否等价于有限熵？

主要发现

• 每个索菲克群的膨胀作用都是 h-膨胀的，将经典结果推广至非平移不变群。
• 每个渐近 h-膨胀的索菲克群作用，其关于不变测度的熵函数是上半连续的，因此存在最大熵测度。
• 当作用群为可换群时，索菲克群的 h-膨胀性与渐近 h-膨胀性定义与 Misiurewicz 的尾熵定义等价。
• 任何可数离散可换群在紧致度量群上的连续自同态作用，当且仅当其熵有限时，为渐近 h-膨胀作用。
• 紧致阿贝尔群的归一化哈尔测度是 α-一致的，使得可利用测度论工具在有限熵条件下证明渐近 h-膨胀性。
• 存在非膨胀但渐近 h-膨胀的可换群在紧致阿贝尔群上的作用——例如，当 f ∈ ℓ1(G) 为非可逆、非零因子时，主代数作用 αf 是渐近 h-膨胀的，当且仅当其熵有限。