[论文解读] Weak forms of topological and measure theoretical equicontinuity: relationships with discrete spectrum and sequence entropy

Felipe García‐Ramos|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文引入了拓扑与测度论等度连续性的弱形式——具体为 μ-均等度连续性和直径-均等度连续性，并建立了其与遍历系统和极小系统中离散谱及零序列熵之间的等价性。研究证明，在遍历系统中，μ-均等度连续性等价于离散谱，且系统要么是 μ-均等度连续的，要么是 μ-均等度敏感的，从而在纯离散谱与强测度论敏感性之间形成二分法。

ABSTRACT

We define weaker forms of topological and measure theoretical equicontinuity for topological dynamical systems and we study their relationships with systems with discrete spectrum and zero sequence entropy. In the topological category we show systems with zero topological sequence entropy are strictly contained in the diam-mean equicontinuous systems; and that transitive almost automorphic subshifts are diam-mean equicontinuous if and only if they are regular (i.e. the maximal equicontinuous factor map is 1-1 on a set of full Haar measure). In the measure category we show that for ergodic topological systems having discrete spectrum is equivalent of being μ-mean equicontinuous. For both categories we find characterizations using stronger versions of the classical notion of sensitivity.

研究动机与目标

• 为拓扑与测度论动力系统定义并分析较弱的等度连续形式——μ-均等度连续性和直径-均等度连续性。
• 澄清这些弱等度连续性概念与离散谱之间的关系，特别是在遍历系统和极小系统中的情形。
• 建立具有离散谱的系统与表现出强测度论敏感性的系统之间的二分法。
• 通过证明在传递几乎自同构子移位中，正则性（在全哈尔测度上为1-1）等价于直径-均等度连续性，扩展了关于零系统和几乎自同构子移位的已知结果。

提出的方法

• 将 μ-均等度连续性定义为均等度连续性和 μ-等度连续性的弱化形式，通过返回时间的密度极限来定义。
• 利用 Kushnirenko 对离散谱的刻画（即通过零测度论序列熵），将 μ-均等度连续性与遍历系统中的离散谱联系起来。
• 将直径-均等度连续性定义为均等度连续性的拓扑强化形式，基于小直径下返回时间的渐近密度。
• 应用阿梅nable群作用和 Følner 序列的结果，将结论推广至可数离散阿贝尔群，而不仅限于 ℤ。
• 利用逐点遍历定理和典型点分析遍历系统中的典型行为与密度性质。
• 利用最大等度连续因子映射及其性质来刻画正则性与几乎自同构系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在遍历测度保持系统中，μ-均等度连续性是否等价于离散谱？
• RQ2 如直径-均等度连续性等弱等度连续性概念如何与子移位中的拓扑序列熵及极小性相关联？
• RQ3 能否在传递几乎自同构子移位中建立正则性与直径-均等度连续性之间的等价性？
• RQ4 每个极小零系统（零拓扑序列熵）是否都满足某种弱等度连续性形式，如直径-均等度连续性？
• RQ5 在遍历系统中，μ-均等度连续性与 μ-均等度敏感性之间是否存在二分法，从而在离散谱与混沌之间形成结构性二分？

主要发现

• 在遍历系统中，μ-均等度连续性等价于离散谱，且此类系统要么是 μ-均等度连续的，要么是 μ-均等度敏感的。
• 零拓扑序列熵的极小子移位严格包含于直径-均等度连续系统类中。
• 传递几乎自同构子移位是直径-均等度连续的，当且仅当其为正则的，即最大等度连续因子映射在全哈尔测度的集合上为1-1。
• 极小零系统（零拓扑序列熵）是直径-均等度连续的，这在缺乏拓扑混沌的情况下确立了一种弱等度连续性性质。
• 本文建立了二分法：每个遍历拓扑动力系统要么是 μ-均等度连续的（因此具有离散谱），要么是 μ-均等度敏感的，从而提供了测度论敏感性的二分法。
• 结果可推广至可数离散阿贝尔群，表明极小零系统是几乎自同构的，且正则性蕴含直径-均等度连续性。