[论文解读] Weak Galerkin Finite Element Methods on Polytopal Meshes

Lin Mu, Junping Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用 150

一句话总结

本文提出了一种新型弱伽辽金有限元方法（WG-FEM），用于在任意多边形网格上求解二阶椭圆方程，采用在不连续分段多项式函数空间上的离散弱梯度算子。该方法在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下均实现了最优收敛率，证明了其在一般多面体单元（包括存在悬挂节点和形变形状的单元）上的鲁棒性。

ABSTRACT

This paper introduces a new weak Galerkin (WG) finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes. This method, called WG-FEM, is designed by using a discrete weak gradient operator applied to discontinuous piecewise polynomials on finite element partitions of arbitrary polytopes with certain shape regularity. The paper explains how the numerical schemes are designed and why they provide reliable numerical approximations for the underlying partial differential equations. In particular, optimal order error estimates are established for the corresponding WG-FEM approximations in both a discrete $H^1$ norm and the standard $L^2$ norm. Numerical results are presented to demonstrate the robustness, reliability, and accuracy of the WG-FEM. All the results are derived for finite element partitions with polytopes. Allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary polytopal elements is a highly demanded feature for numerical algorithms in scientific computing.

研究动机与目标

• 开发一种在一般多边形网格（包括具有复杂或非传统形状的单元）上高效运行的有限元方法。
• 通过在任意多面体上实现不连续逼近，克服经典 conforming 与非 conforming FEM 的局限性。
• 利用离散弱梯度算子，为二阶椭圆问题建立稳定且精确的数值格式。
• 证明在形状正则的多边形剖分上，所提出的 WG-FEM 在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计。

提出的方法

• 该方法通过在每个多边形单元上使用局部 Raviart-Thomas 或 Brezzi-Douglas-Marini 元，定义离散弱梯度算子。
• 采用不连续分段多项式作为有限元空间，允许在单元边界处实现非协调逼近。
• 弱伽辽金弱化形式用弱定义的梯度替代经典梯度，使变分形式可适用于非光滑函数。
• 通过使用离散弱梯度在单元上组装双线性形式，确保在任意多边形网格上的相容性与稳定性。
• 通过将包含悬挂节点的边细分为更小的线段，并相应地重新定义边有限元空间，将方法扩展至处理悬挂节点。
• 在公式中应用稳定化技术，以在存在悬挂节点的非形状正则网格上仍保持最优收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用不连续多项式逼近，在任意多边形网格上实现有限元方法的最优收敛？
• RQ2 如何将梯度算子推广至非三角形或非四面体单元，且在最小正则性假设下保持有效性？
• RQ3 悬挂节点对弱伽辽金格式的收敛性与稳定性有何影响？
• RQ4 离散弱梯度格式能否在形变或扭曲的多面体单元上保持最优误差界？
• RQ5 在相同类型的网格上，新提出的 WG-FEM 与 DG 和传统 WG 方法相比，其收敛速率与精度如何？

主要发现

• 数值实验验证了 WG-FEM 在离散 $H^1$ 范数下达到 $O(h^{k+1})$ 的最优收敛阶，在 $L^2$ 范数下达到 $O(h^{k+2})$，其中 $k$ 为多项式次数。
• 在均匀矩形单元网格上，方法在 $H^1$ 范数下收敛率约为 1.0，在 $L^2$ 范数下约为 2.0，与理论预测一致。
• 在形变矩形单元网格上，方法保持最优收敛性，$H^1$ 收敛率 $r \approx 0.98$，$L^2$ 收敛率 $r \approx 1.96$，证实其鲁棒性。
• 在含悬挂节点的网格上，方法实现 $H^1$ 收敛率 $r \approx 0.92$ 和 $L^2$ 收敛率 $r \approx 1.85$，表明在非正则单元下仍具有近似最优性能。
• 数值结果表明，新 WG-FEM 在收敛速度方面优于 DG 和文献 [17] 中的先前 WG 方法，尤其在 $L^2$ 误差减小方面表现更优。
• 即使在高度扭曲或非形状正则的多边形剖分上，该方法仍保持稳定与精确，证明其在实际计算场景中的鲁棒性。