[论文解读] Weak Gelfand Pair Property And Application To GL(n+1),GL(n) Over Finite Fields

Yoav Ben Shalom|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文证明了在有限域上，GL(n+1, F_q) 与 GL(n, F_q) 的每个不可约表示中，GL(n, F_q)-不变向量至多有两个，通过使用转置反对合的广义 Gelfand 技巧，证明了弱 Gelfand 对的性质。关键结果为：在特征 ≠ 2 的代数闭域上，所有不可约表示 π 满足 dim π^{GL_n(F_q)} ≤ 2，且当 q 不是 2 的幂时，正交群也具有类似界。

ABSTRACT

Let F_q be the finite field with q elements. Consider the standard embedding GL(n,F_q) -> GL(n+1,F_q). In this paper we prove that for every irreducible representation pi of GL(n+1,F_q) over algebraically closed fields of characteristic different from 2 we have dimπ^GL(n,F_q)<=2. To do that we define a property of weak Gelfand pair and prove a generalization of Gelfand trick for weak Gelfand pairs, using the anti-involution transpose to get the result for GL(n+1,F_q),GL(n,F_q). In a similar manner we show that for q not a power of 2 O(n+1,F_q),O(n,F_q) is a Gelfand pair over algebraically closed fields of characteristic different from 2.

研究动机与目标

• 量化 GL(n+1, F_q), GL(n, F_q) 对在有限域上偏离 Gelfand 对的程度。
• 定义并发展弱 Gelfand 对的理论，作为经典 Gelfand 对的推广。
• 将 Gelfand 技巧推广至反对合不保持所有双陪集的设定，从而对不变向量的重数给出上界。
• 证明当 q 不是 2 的幂时，(O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) 是特征 ≠ 2 的域上的 Gelfand 对。
• 提供一个适用于任意特征 ≠ 2 的代数闭域的表示论框架，而不仅限于 C。

提出的方法

• 引入弱 Gelfand 对的概念，其定义为不可约 G-表示中 H-不变向量维数的有界性。
• 通过一个保持 H 和表示 π 的中心特征的反对合 σ，推广经典 Gelfand 技巧，并对未被保持的双陪集数量施加上界。
• 在 GL(n+1, F_q) 上使用转置映射作为反对合 σ，其保持 GL(n, F_q) 和不可约表示的中心特征。
• 证明在 GL_n(F_q)\GL_{n+1}(F_q)/Z(GL_{n+1}(F_q))GL_n(F_q) 中，仅有两个双陪集不被转置保持，从而在上界中得到 k = 1。
• 应用引理 2.2，推导出对所有特征 ≠ 2 的域 F 上的不可约表示 π，有 dim π^{GL_n(F_q)} ≤ k + 1 = 2。
• 将该方法扩展至正交群，使用相同的反对合与双陪集计数，证明当 q 不是 2 的幂时，(O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) 是 Gelfand 对。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 ≠ 2 的域上，GL(n+1, F_q) 的不可约表示中，GL(n, F_q)-不变向量空间的最大可能维数是多少？
• RQ2 当反对合不保持所有双陪集时，经典 Gelfand 技巧能否被推广？
• RQ3 在转置下未被保持的双陪集数量如何影响不变向量的重数？
• RQ4 在什么条件下，(O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) 对是有限域上的 Gelfand 对？
• RQ5 弱 Gelfand 对性质能否用于推导有限域上经典群表示中重数的上界？

主要发现

• 对于特征 ≠ 2 的代数闭域 F 上的 GL_{n+1}(F_q) 的每个不可约表示 π，其 GL_n(F_q)-不变向量空间的维数满足 dim π^{GL_n(F_q)} ≤ 2。
• 在 GL_{n+1}(F_q)（模中心）中，GL_n(F_q)-双陪集中不被转置保持的双陪集恰好有两个，因此在上界中 k = 1。
• 使用转置作为反对合的广义 Gelfand 技巧，得出上界 dim π^H ≤ k + 1 = 2，其中 k 为未被保持的双陪集数的一半。
• 当 q 不是 2 的幂时，(O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) 是特征 ≠ 2 的域 F 上的 Gelfand 对，因为转置反对合保持了所有双陪集。
• 该结果在任意特征 ≠ 2 的代数闭域上成立，不仅限于 C，从而扩展了经典结果的适用范围。
• 证明依赖于 GL_n(F_q) 中存在对称矩阵，可将任一非零向量映射到另一非零向量，从而确保双陪集代表元的传递性。