[论文解读] Weak global solvability of a doubly degenerate parabolic-elliptic nutrient taxis system

Federico Herrero-Hervás|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 0

一句话总结

该论文在无通量边界下，通过正则化近似和Harnack型不等式克服非强 coercivity，证明了一维双退化型抑散-椭圆 Nutrient Taxis 系统的全局弱解存在性。

ABSTRACT

This work studies the following doubly degenerate parabolic-elliptic nutrient taxis system $$ \begin{cases} u_t = (uvu_x)_x -(u^2 vv_x)_x + uv, \\[1.5 ex] \hspace{0.2 cm}0 = v_{xx} - uv + f(x,t), \end{cases} $$ in a bounded interval $Ω\subset \mathbb{R}$, under no-flux boundary conditions and nonnegative initial value $u(x,0) = u_0(x) \geq 0$, where $f(x,t) \geq 0$ is known external supply of the nutrient. It is shown that for any nonnegative $u_0 \in W^{1,\infty}(Ω)$ and $f \in C^1\big(\barΩ imes [0,\infty) \big)$, $f ot \equiv 0$, a global weak solution of the problem can be constructed by means of a regularization approach. The core of the analysis lies on a Harnack-type inequality for the second that allows us to overcome the lack of uniform coercivity. Together with time regularity properties, we obtain relative compactness through a combination of the Arzelà-Ascoli theorem and the Aubin-Lions lemma.

研究动机与目标

• 在无通量边界条件和非负数据下，动机性地建立并表述具有双退化的养分趋向模型。
• 通过构造正则化问题并通过极限分析证明全局弱解的存在性。
• 发展Harnack-type不等式以克服椭圆方程中的统一强 coercivity 缺失。
• 获得时间正则性和紧性，以应用Arzelà–Ascoli和Aubin–Lions引理实现全局可解性。

提出的方法

• 用参数ε∈(0,1)对问题进行正则化以去除退化性并获得经典可解的系统（12）。
• 在一个闭合凸集上应用不动点（ Schauder ）方法以获得正则化系统的局部经典解。
• 通过用u_ε^{p-1}做测试函数并利用v_ε-椭圆关系来推导u_ε 的时间相关的L^p界。
• 利用恒等式 g''/g = (g'/g)' + (g'/g)^2 及积分估计，为v_ε 建立一维Harnack型不等式。
• 获得v_ε 的时间正则性，并通过对u_ε^(p+1)/2 的辅助估计来证明相对紧性。
• 证明对所有ε有T_max,ε = ∞，再对ε_j→0提取收敛子序列，得到全局弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在上述假设下，给定一维空间，双退化型抑散-椭圆养分趋向系统是否存在全局弱解？
• RQ2 正则化如何缓解退化性，达到通过极限所需的先验估计？
• RQ3 椭圆分量的Harnack-type不等式是否能提供统一界，使得对缺乏 coercivity 的补偿？
• RQ4 用何种正则性和紧性框架（Arzelà–Ascoli、Aubin–Lions）足以保证收敛到弱解？

主要发现

• 存在全局弱解 (u,v)，其中 u ∈ L^∞_loc((0,∞); L^p(Ω)) 对所有 p≥1，v ∈ C^0_loc(Ω×[0,∞)) ∩ L^∞_loc((0,∞); C^{1,α}(Ω))。
• 正则化问题（ε-正则化）给出局部经典解，并对u_ε 有 L^p 边界及对 v_ε 的椭圆控制。
• 一维情形下的Harnack-type不等式提供了 v_ε 的时间相关的L^∞界以及对 v_εx 的界，对克服退化性至关重要。
• 时间正则性结果（包括 v_ε 的时间 Hölder 连续性）使得通过Arzelà–Ascoli与Aubin–Lions 可得到紧性。
• 通过证明对所有ε有 T_max,ε = ∞ 并进行极限分析，得到全局存在性。