[论文解读] Weak Hardy Spaces $WH_L^p({\mathbb R}^n)$ Associated to Operators Satisfying $k$-Davies-Gaffney Estimates

Jun Cao, Der‐Chen Chang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文引入了与满足 $k$-Davies-Gaffney 估计的算子 $L$ 相关的弱 Hardy 空间 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$，建立了弱分子表征，并证明了 Riesz 变换与分数次幂在这些空间之间的有界性。关键贡献在于通过均值振荡识别出 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间，这一结果此前即使对 Laplacian 算子也尚不为人所知。

ABSTRACT

Let $L$ be a one-to-one operator of type $ω$ having a bounded $H_\infty$ functional calculus and satisfying the $k$-Davies-Gaffney estimates with $k\in{\mathbb N}$. In this paper, the authors introduce the weak Hardy space $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ associated to $L$ for $p\in (0,\,1]$ via the non-tangential square function $S_L$ and establish a weak molecular characterization of $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$. Typical examples of such operators include the $2k$-order divergence form homogeneous elliptic operator $L_1:=(-1)^k\sum_{|α|=k=|β|}\partial^β(a_{α,β}\partial^α)$, where $\{a_{α,β}\}_{|α|=k=|β|}$ are complex bounded measurable functions, and the $2k$-order Schrödinger type operator $L_2:= (-Δ)^k+V^k$, where $Δ$ is the Laplacian operator and $0\le V\in L^k_{\mathop\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$. As applications, for $i\in\{1,\,2\}$ and $p\in(\frac{n}{n+k},\,1]$, the authors prove that the associated Riesz transform $ abla^k (L_i^{-1/2})$ is bounded from $WH^p_{L_i}(\mathbb{R}^n)$ to the classical weak Hardy space $WH^p(\mathbb{R}^n)$ and, for all $0

研究动机与目标

• 为满足 $k$-Davies-Gaffney 估计的算子 $L$ 定义并表征与之相关的弱 Hardy 空间 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$，其中 $p \in (0,1]$。
• 通过非切向平方函数 $S_L$ 建立 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的弱分子表征。
• 证明 Riesz 变换 $\nabla^k L^{-1/2}$ 从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 到经典弱 Hardy 空间 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 的有界性，其中 $p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$。
• 建立一个插值定理，表明 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 是不同 $p \in (0,1]$ 下 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 之间的实插值中间空间。
• 识别出 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 对于 $p \in (0,1]$ 的对偶空间，该空间通过基于精细覆盖的均值振荡定义，推广至满足 Davies-Gaffney 估计的非负自伴算子 $L$ 的情形。

提出的方法

• 通过非切向平方函数 $S_L(f)(x) = \left(\int_{\Gamma(x)} |t^k \nabla^k e^{-t^{2k}L}f(y)|^2 \frac{dy\,dt}{t^{n+1}}\right)^{1/2}$ 定义 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$。
• 通过构造适应于算子 $L$ 的分子，满足大小、取消和平方函数衰减条件，建立弱分子表征。
• 利用实插值理论，证明 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 是不同 $p \in (0,1]$ 下 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 之间的中间空间。
• 采用基于 dyadic 方体与环形区域的精细覆盖论证，定义均值振荡空间 $W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$，并将其与 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间联系起来。
• 通过弱型估计与平方函数控制，证明 $\nabla^k L^{-1/2}$ 从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 的有界性。
• 通过插值与泛函演算，证明分数次幂 $L^{-\alpha/(2k)}$ 从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $WH_L^r(\mathbb{R}^n)$ 的有界性，其中 $0 < p < r \leq 1$ 且 $\alpha = n(1/p - 1/r)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为满足 $k$-Davies-Gaffney 估计的算子 $L$ 定义并表征弱 Hardy 空间 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$？
• RQ2 弱分子表征是什么？它与平方函数 $S_L$ 有何关系？
• RQ3 Riesz 变换 $\nabla^k L^{-1/2}$ 是否有界地从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 映射到经典弱 Hardy 空间 $WH^p(\mathbb{R}^n)$？在哪些 $p$ 值下成立？
• RQ4 是否可以识别出 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间？其结构如何通过均值振荡描述？
• RQ5 在实插值下，$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 空间的行为如何？它们生成哪些中间空间？

主要发现

• Riesz 变换 $\nabla^k L^{-1/2}$ 从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 的有界性对所有 $p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$ 成立。
• 分数次幂 $L^{-\alpha/(2k)}$ 从 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $WH_L^r(\mathbb{R}^n)$ 的有界性对所有 $0 < p < r \leq 1$ 且 $\alpha = n(1/p - 1/r)$ 成立。
• $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 是不同 $p \in (0,1]$ 下 $L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$ 之间实插值方法的中间空间。
• $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 对于 $p \in (0,1]$ 的对偶空间被识别为 $W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$，该空间通过有界开集覆盖上的均值振荡定义。
• 即使对于 Laplacian 算子（$L = -\Delta$），$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间也被首次识别为 $W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$，解决了此前未知的情形。
• 对偶空间表征独立于参数 $\mathcal{N}$，只要 $\mathcal{N} > n(1/p - 1/2)$，因此可使用符号 $W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 而不依赖于 $\mathcal{N}$。