[论文解读] Weak Hopf Algebras and Reducible Jones Inclusions of Depth 2. I: From Crossed products to Jones towers

Florian Nill, Kornél Szlachányi+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 27

一句话总结

本文通过交叉积构造，建立了可约有限指标、深度-2 的冯诺依曼代数包含与有限维弱 C*-霍普夫代数之间的对应关系。它表明，弱霍普夫代数中的归一化正左积分可生成忠实的条件期望与琼斯投影，并引入了普朗歇尔对偶性，将这些积分与哈格鲁普对偶条件期望联系起来，且标准不变量以弱霍普夫代数及其对偶构成的琼斯三元组形式实现。

ABSTRACT

We apply the theory of finite dimensional weak C^*-Hopf algebras A as developed by G. Böhm, F. Nill and K. Szlachányi to study reducible inclusion triples of von-Neumann algebras N \subset M \subset (M\cros\A). Here M is an A-module algebra, N is the fixed point algebra and \M\cros\A is the crossed product extension. ``Weak'' means that the coproduct Δon A is non-unital, requiring various modifications of the standard definitions for (co-)actions and crossed products. We show that acting with normalized positive and nondegenerate left integrals l\in\A gives rise to faithful conditional expectations E_l: M-->N, where under certain regularity conditions this correspondence is one-to-one. Associated with such left integrals we construct ``Jones projections'' e_l\in\A obeying the Jones relations as an identity in M\cros\A. Finally, we prove that N\subset M always has finite index and depth 2 and that the basic Jones construction is given by the ideal M_1:=M e_l M \subset M\cros\A, where under appropriate conditions M_1 = M\cros\A. In a subsequent paper we will show that converseley any reducible finite index and depth-2 Jones tower of von-Neumann factors (with finite dimensional centers) arises in this way.

研究动机与目标

• 通过弱霍普夫代数将不可约深度-2子因子的分类推广至可约情形。
• 建立可约有限指标、深度-2的冯诺依曼代数包含与弱 C*-霍普夫代数作用之间的对应关系。
• 从弱霍普夫代数中的归一化正左积分构造琼斯投影与条件期望。
• 在弱霍普夫代数的语境下引入并表征普朗歇尔对偶性。
• 证明此类包含的标准不变量由弱霍普夫代数及其对偶构成的琼斯三元组给出。

提出的方法

• 使用有限维弱 C*-霍普夫代数构造冯诺依曼代数的交叉积扩张。
• 在冯诺依曼代数 M 上定义弱霍普夫代数的左作用，其固定点代数为 N = M^A。
• 通过归一化正左积分 l ∈ A 构造条件期望 E_l(m) = l ▷ m。
• 在交叉积代数 M ⋊ A 中引入琼斯投影 e_l，满足 e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m)。
• 通过其对偶弱霍普夫代数定义普朗歇尔对偶性，其中 l ∈ A 的 p-对偶 λ ∈ Â 满足 λ ↷ e_l = 1。
• 证明 N ⊂ M 的基本构造由理想 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A 实现，且在正则性条件下有 M₁ = M ⋊ A。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用弱霍普夫代数对可约有限指标、深度-2的冯诺依曼代数包含进行分类？
• RQ2 归一化正左积分在交叉积构造中如何生成条件期望与琼斯投影？
• RQ3 普朗歇尔对偶性如何将弱霍普夫代数的左积分与其对偶以及哈格鲁普对偶条件期望联系起来？
• RQ4 在何种条件下，N ⊂ M 的基本构造与完整交叉积 M ⋊ A 重合？
• RQ5 此类包含的标准不变量的结构是什么？其如何通过弱霍普夫代数及其对偶实现？

主要发现

• 归一化正且非退化的左积分 l ∈ A 通过 E_l(m) = l ▷ m 生成忠实的条件期望 E_l: M → N。
• 这些积分在交叉积代数 M ⋊ A 中生成满足琼斯关系 e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m) 的琼斯投影 e_l ∈ A。
• 普朗歇尔对偶性被定义为：l ∈ A 的 p-对偶 λ ∈ Â 满足 λ ↷ e_l = 1，从而在积分与其对偶之间建立对偶关系。
• N ⊂ M 的基本构造由理想 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A 实现，且在如外作用等正则性条件下有 M₁ = M ⋊ A。
• N ⊂ M 的标准不变量由琼斯三元组 A_L ⊂ A ⊂ A ⋊ Â 给出，其中 A_L ≅ A ▷ 1_M ⊂ M，且 A_L 同构于 A 在 M 中的像。
• 对于部分内群作用，弱霍普夫代数结构源自扭曲群代数 C H_z 与扭曲作用 β，其中 Δ、ε 和 S 由公式 (B.11)–(B.13) 定义，且 S² = id 成立。