[论文解读] Weak Hopf Algebras I: Integral Theory and C^*-structure

Gabriella Böhm, Florian Nill+1 more|ArXiv.org|May 26, 1998

Algebraic structures and combinatorial models被引用 60

一句话总结

本文引入弱霍普夫代数作为霍普夫代数的共结合推广，其单位与余单位公理被弱化，建立了积分理论，并在C*-情形下证明了唯一哈尓测度与典型群胚元的存在性。它表明弱霍普夫代数的代数结构由典型子代数 $A^L$ 和 $A^R$ 所支配，并表明半单性、弗罗贝尼乌斯性质以及 $S^2$ 的内蕴性与非退化或哈尓积分的存在性相关联。

ABSTRACT

We give an introduction to the theory of weak Hopf algebras proposed recently as a coassociative alternative of weak quasi-Hopf algebras. We follow an axiomatic approach keeping as close as possible to the "classical" theory of Hopf algebras. The emphasis is put on the new structure related to the presence of canonical subalgebras A^L and A^R in any weak Hopf algebra A that play the role of non-commutative numbers in many respects. A theory of integrals is developed in which we show how the algebraic properties of A, such as the Frobenius property, or semisimplicity, or innerness of the square of the antipode, are related to the existence of non-degenerate, normalized, or Haar integrals. In case of C^*-weak Hopf algebras we prove the existence of a unique Haar measure h in A and of a canonical grouplike element g in A implementing the square of the antipode and factorizing into left and right algebra elements. Further discussion of the C^*-case will be presented in Part II.

研究动机与目标

• 建立一个关于弱霍普夫代数的公理化、自对偶框架，定义于域 $K$ 上，推广经典霍普夫代数理论。
• 在弱霍普夫代数中建立全面的积分理论，将半单性与弗罗贝尼乌斯条件等代数性质与非退化或哈尓积分的存在性联系起来。
• 在 $C^*$-情形下，证明存在唯一的哈尓测度 $h \in A$ 和典型群胚元 $g \in A$，满足 $g = g_L g_R^{-1}$，其中 $g_L \in A^L$，$g_R \in A^R$，并证明 $g$ 实现了 $S^2$。
• 阐明弱霍普夫代数在量子对称性中的作用，特别是在算子代数与量子场论中的子因子和交叉积背景下的意义。
• 证明 $C^*$-弱霍普夫代数是自对偶的，并且 $A^{L}A^{R}$ 可分解为与 $B \otimes B^{op}$ 同构的代数的直和，这些代数具有归一化且非退化的积分。

提出的方法

• 对域 $K$ 上的弱双代数与弱霍普夫代数进行公理化，其中余乘法不具有单位元（即 $\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$），余泛性仅弱满足乘法性。
• 将典型子代数 $A^L$ 与 $A^R$ 定义为左投影 $\sqcap^L$ 与右投影 $\sqcap^R$ 的像，其作用类似于非交换数。
• 通过左正则与右正则作用引入弱霍普夫代数中的积分，并通过代数与正定性条件定义非退化与哈尓积分。
• 在 $C^*$-情形下，证明哈尓测度 $h \in A$ 的存在性等价于正元素 $\sqcap^R(l)$ 的存在性，并通过 $g = g_L g_R^{-1}$ 将其与典型群胚元 $g$ 关联。
• 对一个具有非退化泛函 $E$（指标为1）的可分代数 $B$，在 $B \otimes B^{op}$ 上构造弱霍普夫代数结构，利用对偶基 $\{e_i\}, \{f_i\}$，并证明 $l = \sum f_i \otimes e_i$ 是一个归一化且非退化的左积分。
• 利用 $E$ 关于非退化迹 $\text{tr}$ 的Radon-Nikodym导数 $\gamma$，确保 $\theta$ 是内蕴的，从而使得 $S^2$ 内蕴，推导出 $B \otimes B^{op}$ 及其对偶中哈尓测度存在的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱霍普夫代数的弱化公理——特别是 $\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$ 与 $\varepsilon$ 的弱乘法性——如何影响其结构与表示理论，相较于标准霍普夫代数？
• RQ2 典型子代数 $A^L$ 与 $A^R$ 在支配弱霍普夫代数的代数与积分结构中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，弱霍普夫代数会存在非退化或哈尓积分？这些条件如何与半单性、弗罗贝尼乌斯性质以及 $S^2$ 的内蕴结构相关联？
• RQ4 在 $C^*$-情形下，是否存在唯一的哈尓测度 $h \in A$？它与实现 $S^2$ 的典型群胚元 $g$ 有何关系？
• RQ5 弱霍普夫代数 $B \otimes B^{op}$ 是否可用于实现所有有限维 $C^*$-弱霍普夫代数？在该构造中，哈尓测度存在的条件是什么？

主要发现

• 在 $C^*$-弱霍普夫代数中，存在唯一的归一化哈尓测度 $h \in A$，满足 $h = \hat{h} \circ S$，且 $\varepsilon(h) = 1$。
• 存在一个典型群胚元 $g \in A$，使得 $S^2(x) = g x g^{-1}$，其可分解为 $g = g_L g_R^{-1}$，其中 $g_L \in A^L$，$g_R \in A^R$，且 $g_L, g_R$ 可逆。
• $B \otimes B^{op}$ 中哈尓测度的存在性等价于 $\sum_i f_i \gamma^2 e_i$ 的可逆性，其中 $\gamma$ 是 $E$ 关于非退化迹的Radon-Nikodym导数。
• $B \otimes B^{op}$ 中，若 $\theta$ 是内蕴的，则 $S^2$ 也是内蕴的，这由存在可逆的Radon-Nikodym导数 $\gamma$ 保证，因此 $S^2 = \theta \otimes \theta$，其中 $\theta(x) = \gamma x \gamma^{-1}$。
• 在对偶代数 $\hat{A}$ 上，左正则与右正则作用满足 $\rho_R = \hat{g}_R^{1/2} \eta \eta^* \hat{g}_R^{-1/2}$，其中 $\eta \in \hat{A}^R$，这表征了 $\sqcap^R(l)$ 的正定性。
• $A^{L}A^{R}$ 是一个子弱霍普夫代数，其超中心为 $A^L \cap A^R$，并可分解为与 $B \otimes B^{op}$ 同构的弱霍普夫代数的直和，每个同构代数均具有归一化且非退化的左积分 $l = \sum f_i \otimes e_i = S^2(1_{(2)})1_{(1)}$。